2. A = (-∞, 4] ve B = [2, 7) aralıkları veriliyor. A ∩ B kümesinin sayı doğrusunda gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [2, 4]
B) [2, 4)
C) [2, 7)
D) (-∞, 7)
Adım 1: Verilen Aralıkları Anlayalım
- İlk aralığımız $A = (-\infty, 4]$ olarak verilmiş. Bu, sayı doğrusunda $4$ ve $4$'ten küçük tüm gerçek sayıları kapsar. Köşeli parantez $[$ veya $]$ kullanılması, o sayının aralığa dahil olduğunu gösterir. Yani $4$ sayısı $A$ kümesinin bir elemanıdır. $(-\infty$ işareti, aralığın sol taraftan sonsuza kadar gittiğini ve hiçbir zaman bir sayıya ulaşmadığını belirtir, bu yüzden her zaman normal parantez kullanılır.)
- İkinci aralığımız $B = [2, 7)$ olarak verilmiş. Bu, sayı doğrusunda $2$ ve $2$'den büyük, aynı zamanda $7$'den küçük tüm gerçek sayıları kapsar. Köşeli parantez $[$ kullanıldığı için $2$ sayısı $B$ kümesinin bir elemanıdır. Normal parantez $)$ kullanıldığı için $7$ sayısı $B$ kümesinin bir elemanı değildir.
Adım 2: Kesişim Kümesinin Anlamını Hatırlayalım
- İki kümenin kesişimi ($A \cap B$), her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşan kümedir. Yani, hem $A$ kümesine ait olan hem de $B$ kümesine ait olan sayıları bulmalıyız.
Adım 3: Aralıkları Sayı Doğrusunda Düşünelim ve Kesişimi Bulalım
- $A = (-\infty, 4]$ aralığı, sayı doğrusunda $4$ noktasından başlayıp sola doğru sonsuza uzanan bir çizgidir. $4$ noktası dahil.
- $B = [2, 7)$ aralığı, sayı doğrusunda $2$ noktasından başlayıp $7$ noktasına kadar uzanan bir çizgidir. $2$ noktası dahil, $7$ noktası hariç.
- Şimdi bu iki aralığın üst üste geldiği, yani ortak olduğu kısmı bulalım:
- Bir sayı hem $A$ kümesinde olması için $x \le 4$ olmalıdır.
- Bir sayı hem $B$ kümesinde olması için $x \ge 2$ ve $x < 7$ olmalıdır.
- Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, sayının hem $2$'den büyük veya eşit ($x \ge 2$) hem de $4$'ten küçük veya eşit ($x \le 4$) olması gerektiğini görürüz. $x < 7$ koşulu $x \le 4$ koşulunu zaten kapsadığı için, $x \le 4$ koşulu daha kısıtlayıcıdır ve $x < 7$ koşulunu otomatik olarak sağlar.
- Dolayısıyla, ortak olan sayılar $2$ ile $4$ arasındaki sayılardır.
Adım 4: Kesişim Kümesini Yazalım
- Ortak olan sayılar $2$'ye eşit veya büyük, $4$'e eşit veya küçüktür. Bu durumu matematiksel olarak $2 \le x \le 4$ şeklinde ifade ederiz.
- Aralık gösterimiyle bu küme $[2, 4]$ şeklinde yazılır. Her iki uç nokta da dahil olduğu için köşeli parantez kullanılır.
Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz kesişim kümesi $[2, 4]$'tür. Seçeneklere baktığımızda:
- A) $[2, 4]$
- B) $[2, 4)$
- C) $[2, 7)$
- D) $(-\infty, 7)$
- Doğru cevabın A seçeneği olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
