8. A = {x | x ≤ 2} ve B = {x | x > -1} kümelerinin kesişimi olan A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) (-1, 2]Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki kümenin kesişimini bulmamız isteniyor. Kümeleri ve kesişim kavramını adım adım inceleyelim.
A kümesi, $A = \{x | x \le 2\}$ şeklinde tanımlanmış. Bu ifade, "x öyle bir sayıdır ki, x 2'ye eşit veya 2'den küçüktür" anlamına gelir. Yani, 2 ve 2'den küçük tüm gerçek sayıları kapsar.
Bu kümeyi aralık (interval) gösterimiyle ifade edersek: $(-\infty, 2]$ olur. Burada köşeli parantez ($]$), 2 sayısının kümeye dahil olduğunu gösterir.
B kümesi, $B = \{x | x > -1\}$ şeklinde tanımlanmış. Bu ifade, "x öyle bir sayıdır ki, x -1'den büyüktür" anlamına gelir. Yani, -1'den büyük tüm gerçek sayıları kapsar.
Bu kümeyi aralık gösterimiyle ifade edersek: $(-1, \infty)$ olur. Burada normal parantez ($($), -1 sayısının kümeye dahil olmadığını gösterir.
İki kümenin kesişimi ($A \cap B$), her iki kümede de ortak olan elemanların oluşturduğu kümedir. Yani, hem A kümesinin şartını ($x \le 2$) hem de B kümesinin şartını ($x > -1$) aynı anda sağlayan x değerlerini bulmalıyız.
A kümesinin şartı: $x \le 2$
B kümesinin şartı: $x > -1$
Bu iki şartı birleştirdiğimizde, x sayısının -1'den büyük ve aynı zamanda 2'ye eşit veya 2'den küçük olması gerektiğini anlarız. Bunu tek bir eşitsizlik olarak yazarsak:
$-1 < x \le 2$
Bulduğumuz eşitsizlik olan $-1 < x \le 2$ ifadesini aralık gösterimine çevirelim.
$-1 < x$ ifadesi, -1'in dahil olmadığını gösterir, bu yüzden sol tarafta normal parantez ($($) kullanırız.
$x \le 2$ ifadesi, 2'nin dahil olduğunu gösterir, bu yüzden sağ tarafta köşeli parantez ($]$) kullanırız.
Bu durumda, $A \cap B$ kümesi $(-1, 2]$ şeklinde ifade edilir.
Bulduğumuz $(-1, 2]$ aralığı, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
