Mühendislik üslü ve köklü gösterimlerin kullanımın özeti Test 2

Bir mühendis, enerji verimliliği hesaplamasında \( \frac{3^{10} \cdot 9^2}{27^3} \) ifadesini kullanmaktadır. Bu ifadenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( 3^5 \)
B) \( 9^3 \)
C) \( 27^2 \)
D) \( 81^2 \)

Sevgili öğrenciler, bu soruda üslü ifadelerle işlem yaparken temel kuralları doğru bir şekilde uygulamamız gerekiyor. Özellikle farklı tabanları aynı tabana çevirme ve üslü ifadelerin özelliklerini kullanma becerimizi ölçeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Tüm sayıları aynı tabanda (3 tabanında) yazma.

  İfademiz $ \frac{3^{10} \cdot 9^2}{27^3} $ şeklindedir. Burada $9$ ve $27$ sayılarını $3$ tabanında yazabiliriz: $9 = 3^2$ ve $27 = 3^3$.

  Şimdi bu değerleri ana ifadede yerine yazalım:

  $ \frac{3^{10} \cdot (3^2)^2}{(3^3)^3} $

• Adım 2: Üssün üssü kuralını uygulama.

  Üssün üssü kuralı $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ şeklindedir. Bu kuralı uygulayarak:

  Paydaki $ (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 $ olur.

  Paydadaki $ (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9 $ olur.

  İfademiz şimdi şu hale geldi:

  $ \frac{3^{10} \cdot 3^4}{3^9} $

• Adım 3: Paydaki çarpma işlemini yapma.

  Aynı tabana sahip üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.

  Paydaki $ 3^{10} \cdot 3^4 $ ifadesini bu kurala göre düzenleyelim:

  $ 3^{10} \cdot 3^4 = 3^{10+4} = 3^{14} $

  İfademiz son haliyle:

  $ \frac{3^{14}}{3^9} $

• Adım 4: Bölme işlemini yapma.

  Aynı tabana sahip üslü ifadeler bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

  Şimdi bu kuralı uygulayalım:

  $ \frac{3^{14}}{3^9} = 3^{14-9} = 3^5 $

• Adım 5: Sonucu seçeneklerle karşılaştırma.

  Hesaplamalarımız sonucunda ifadenin eşiti $ 3^5 $ olarak bulundu. Seçeneklere baktığımızda:

  A) $ 3^5 $

  B) $ 9^3 = (3^2)^3 = 3^6 $

  C) $ 27^2 = (3^3)^2 = 3^6 $

  D) $ 81^2 = (3^4)^2 = 3^8 $

  Görüldüğü gibi, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.