Bir sayı doğrusu üzerinde A, B ve C noktaları sırasıyla x, y ve z tam sayılarına karşılık gelmektedir. Bu noktalarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
• A noktası başlangıç noktasına (0) B noktasından daha uzaktır.
• C noktasının A noktasına olan uzaklığı, B noktasının C noktasına olan uzaklığının iki katıdır.
• x, y ve z birbirinden farklı tam sayılardır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) $x$ ve $y$ sayılarının işaretleri farklıdır.
B) $z$ sayısı $x$ ve $y$ sayılarının arasında yer alır.
C) $x-z$ farkı bir çift sayıdır.
D) $x+y+z$ toplamı bir tek sayıdır.
E) $y$ sayısı $x$ ve $z$ sayılarının aritmetik ortalamasıdır.
İşte bu soruyu adım adım çözerek doğru cevabı bulalım:
* **Adım 1: Bilgileri Anlama ve İfade Etme**
Öncelikle verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:
* A noktası başlangıç noktasına B noktasından daha uzaktır: $|x| > |y|$
* C noktasının A noktasına olan uzaklığı, B noktasının C noktasına olan uzaklığının iki katıdır: $|z - x| = 2|z - y|$
* **Adım 2: Durumları Değerlendirme**
$|z - x| = 2|z - y|$ ifadesini iki farklı durumda inceleyelim:
* **Durum 1:** $z - x = 2(z - y)$
Bu durumda $z - x = 2z - 2y$ olur. Buradan $z = 2y - x$ elde ederiz.
* **Durum 2:** $z - x = -2(z - y)$
Bu durumda $z - x = -2z + 2y$ olur. Buradan $3z = x + 2y$ ve $z = \frac{x + 2y}{3}$ elde ederiz.
* **Adım 3: Seçenekleri İnceleme**
Şimdi de seçenekleri teker teker inceleyerek hangisinin kesinlikle doğru olduğunu bulmaya çalışalım:
* **A) $x$ ve $y$ sayılarının işaretleri farklıdır.**
Bu kesin doğru olmak zorunda değil. Örneğin, $x = -4$, $y = -1$ ve Durum 1'i ele alırsak $z = 2(-1) - (-4) = 2$ olur. Bu durumda $x$ ve $y$ aynı işaretli olabilir.
* **B) $z$ sayısı $x$ ve $y$ sayılarının arasında yer alır.**
Bu da kesin doğru olmak zorunda değil. Örneğin, $x = -4$, $y = -1$ ve Durum 1'i ele alırsak $z = 2$ olur. Bu durumda $z$, $x$ ve $y$'nin arasında yer almaz.
* **C) $x-z$ farkı bir çift sayıdır.**
* **Durum 1:** $z = 2y - x$ ise, $x - z = x - (2y - x) = 2x - 2y = 2(x - y)$ olur. Bu ifade her zaman bir çift sayıdır.
* **Durum 2:** $z = \frac{x + 2y}{3}$ ise, $x - z = x - \frac{x + 2y}{3} = \frac{3x - x - 2y}{3} = \frac{2x - 2y}{3} = \frac{2(x - y)}{3}$ olur. $z$ bir tam sayı olduğundan $x+2y$, 3'ün katı olmalıdır. Yani $x+2y = 3k$ şeklinde yazılabilir. Bu durumda $x-z = \frac{2}{3}(x-y) = \frac{2}{3}(x - \frac{3k-x}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{3x-3k}{2}) = x-k$ olur. $x-k$ ifadesi de bir tam sayıdır. $x-z$ farkının çift sayı olup olmadığını anlamak için $x-z = x - \frac{x+2y}{3}$ ifadesini düzenleyelim. $x-z = \frac{2x-2y}{3}$ ifadesinin bir çift sayı olması için $2x-2y$'nin 6'nın katı olması gerekir. Yani $x-y$'nin 3'ün katı olması gerekir. Ancak bu her zaman doğru olmayabilir.
Ancak Durum 1'de $x-z$ farkının her zaman çift sayı olduğunu bulmuştuk.
* **D) $x+y+z$ toplamı bir tek sayıdır.**
Bu da kesin doğru olmak zorunda değil. Durum 1'i ele alırsak, $x + y + z = x + y + (2y - x) = 3y$ olur. Eğer $y$ çift ise, toplam çift olur.
* **E) $y$ sayısı $x$ ve $z$ sayılarının aritmetik ortalamasıdır.**
Bu da kesin doğru olmak zorunda değil. Yani $y = \frac{x + z}{2}$ ifadesi her zaman doğru olmayabilir.
* **Adım 4: Sonuç**
C seçeneği Durum 1 için kesinlikle doğru olduğundan ve diğer seçenekler için karşıt örnekler bulunabildiğinden, doğru cevap C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
