Eşkenar üçgende alan formülü, hesaplama Test 2

Bir eşkenar üçgenin yüksekliği 9 cm ise, bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 27√3
B) 36√3
C) 45√3
D) 54√3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle bir eşkenar üçgenin yüksekliği verildiğinde alanını nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Bu tür soruları çözerken formülleri doğru hatırlamak ve işlem adımlarını dikkatli uygulamak çok önemlidir. Haydi başlayalım!

• Adım 1: Eşkenar Üçgenin Temel Özelliklerini Hatırlayalım.

  Bir eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Bu kenar uzunluğuna $a$ diyelim. Eşkenar üçgenin yüksekliği ($h$), kenarortay ve açıortay görevi görür. Eşkenar üçgenin yüksekliği ve alanı için özel formüllerimiz vardır:

  • Yükseklik formülü: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
  • Alan formülü: $A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

  Soruda bize yükseklik $h = 9$ cm olarak verilmiş ve bizden üçgenin alanı isteniyor. Alanı bulabilmek için öncelikle kenar uzunluğu $a$'yı bulmamız gerekiyor.

• Adım 2: Verilen Yüksekliği Kullanarak Kenar Uzunluğunu ($a$) Bulalım.

  Yükseklik formülünü kullanarak $a$'yı yalnız bırakalım:

  • $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
  • $9 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
  • Her iki tarafı $2$ ile çarpalım: $18 = a\sqrt{3}$
  • $a$'yı bulmak için her iki tarafı $\sqrt{3}$'e bölelim: $a = \frac{18}{\sqrt{3}}$
  • Paydayı rasyonel yapmak için kesri $\sqrt{3}$ ile çarpıp bölelim: $a = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3}$
  • Sadeleştirme yapalım: $a = 6\sqrt{3}$ cm.

  Böylece eşkenar üçgenimizin bir kenar uzunluğunun $6\sqrt{3}$ cm olduğunu bulduk.

• Adım 3: Kenar Uzunluğunu Kullanarak Üçgenin Alanını Hesaplayalım.

  Şimdi bulduğumuz kenar uzunluğunu ($a = 6\sqrt{3}$ cm) alan formülünde yerine koyarak üçgenin alanını hesaplayabiliriz:

  • $A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
  • $A = \frac{(6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}$
  • Önce $(6\sqrt{3})^2$ ifadesini hesaplayalım: $(6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$.
  • Şimdi bu değeri alan formülünde yerine yazalım: $A = \frac{108\sqrt{3}}{4}$
  • Sadeleştirme yapalım: $A = 27\sqrt{3}$ cm².

  Böylece eşkenar üçgenin alanını $27\sqrt{3}$ cm² olarak bulduk.

• Adım 4: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım.

  Bulduğumuz $27\sqrt{3}$ cm² değeri, A seçeneğinde verilen değerle aynıdır.

Gördüğünüz gibi, doğru formülleri bilmek ve adımları sırasıyla uygulamak, karmaşık görünen problemleri bile kolayca çözmemizi sağlar. Unutmayın, pratik yapmak her zaman en iyi öğrenme yöntemidir!

Cevap A seçeneğidir.