Eşkenar üçgende alan formülü, hesaplama Test 2

Bir eşkenar üçgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın üçgenin kenarlarına olan uzaklıkları toplamı 12√3 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 144
B) 108√3
C) 144√3
D) 216

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir eşkenar üçgenin önemli bir özelliğini kullanarak alanını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Eşkenar Üçgenlerde İç Noktanın Uzaklıkları Toplamı Özelliği:

  Bir eşkenar üçgenin iç bölgesinde alınan herhangi bir noktanın, üçgenin kenarlarına olan dik uzaklıkları toplamı, o eşkenar üçgenin yüksekliğine ($h$) eşittir. Bu, Viviani Teoremi olarak bilinir.

  Soruda bu uzaklıkların toplamı $12\sqrt{3}$ cm olarak verilmiş. O halde, eşkenar üçgenimizin yüksekliği $h = 12\sqrt{3}$ cm'dir.

• 2. Yükseklikten Kenar Uzunluğunu Bulma:

  Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğuna $a$ dersek, yüksekliği şu formülle bulunur:

  $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

  Şimdi bildiğimiz yüksekliği bu formülde yerine koyalım ve $a$ değerini bulalım:

  $12\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

  Her iki taraftaki $\sqrt{3}$'leri sadeleştirelim:

  $12 = \frac{a}{2}$

  Şimdi $a$'yı bulmak için her iki tarafı $2$ ile çarpalım:

  $a = 12 \times 2 = 24$ cm.

  Demek ki eşkenar üçgenimizin bir kenar uzunluğu $24$ cm'dir.

• 3. Eşkenar Üçgenin Alanını Hesaplama:

  Eşkenar üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu $a$ cinsinden şu formülle bulunur:

  $Alan = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

  Bulduğumuz $a = 24$ cm değerini bu formülde yerine koyalım:

  $Alan = \frac{(24)^2\sqrt{3}}{4}$

  $Alan = \frac{576\sqrt{3}}{4}$

  Şimdi sadeleştirme yapalım:

  $Alan = 144\sqrt{3}$ cm².

Bu durumda, doğru cevabımız C seçeneği olan $144\sqrt{3}$ cm² olmalıdır.

Cevap B seçeneğidir.