Üçgende diklik merkezi nedir Test 1

Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 60° ve m(∠B) = 45° dir. Bu üçgenin diklik merkezi H olduğuna göre, m(∠AHB) kaç derecedir?

A) 75
B) 90
C) 105
D) 120

Merhaba sevgili öğrenciler! Geometri sorularında adım adım ilerlemek, doğru sonuca ulaşmanın anahtarıdır. Bu soruyu da aynı şekilde, mantığını kavrayarak çözelim.

• Adım 1: Üçgenin Üçüncü Açısını Bulma

  Bir üçgenin iç açılarının toplamı $180^\circ$ olduğunu biliyoruz. Bize $m(\angle A) = 60^\circ$ ve $m(\angle B) = 45^\circ$ olarak verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak $m(\angle C)$ açısını bulalım:

  $m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ$

  $60^\circ + 45^\circ + m(\angle C) = 180^\circ$

  $105^\circ + m(\angle C) = 180^\circ$

  $m(\angle C) = 180^\circ - 105^\circ$

  $m(\angle C) = 75^\circ$

• Adım 2: Diklik Merkezi (Ortomerkez) Kavramını Anlama

  H noktası, ABC üçgeninin diklik merkezidir. Diklik merkezi, bir üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır. Yani, A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik, B köşesinden AC kenarına indirilen yükseklik ve C köşesinden AB kenarına indirilen yükseklik H noktasında kesişir.

  Şimdi, A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin ayağına D diyelim ($AD \perp BC$).

  B köşesinden AC kenarına indirilen yüksekliğin ayağına E diyelim ($BE \perp AC$).

  Bu durumda, H noktası AD ve BE yüksekliklerinin kesişim noktasıdır.

• Adım 3: Oluşan Dörtgeni İnceleme ve Açı İlişkisini Kurma

  Şekilde, C, D, H, E noktalarını birleştirdiğimizde bir dörtgen (CDHE) oluştuğunu görebiliriz. Bu dörtgenin iç açılarını inceleyelim:

  • $AD \perp BC$ olduğu için $m(\angle HDC) = 90^\circ$.
  • $BE \perp AC$ olduğu için $m(\angle HEC) = 90^\circ$.
  • Dörtgenin iç açılarının toplamı $360^\circ$'dir. Bu durumda, CDHE dörtgeni için:

  $m(\angle DHE) + m(\angle HDC) + m(\angle C) + m(\angle CEH) = 360^\circ$

  $m(\angle DHE) + 90^\circ + m(\angle C) + 90^\circ = 360^\circ$

  $m(\angle DHE) + m(\angle C) + 180^\circ = 360^\circ$

  $m(\angle DHE) = 180^\circ - m(\angle C)$

• Adım 4: İstenen Açıyı Bulma

  Şekilde, $\angle AHB$ ile $\angle DHE$ açıları ters açılardır (köşeleri H noktası olan ve kenarları birbirinin uzantısı olan açılar). Ters açılar birbirine eşittir. Yani $m(\angle AHB) = m(\angle DHE)$.

  Yukarıdaki adımdan $m(\angle DHE) = 180^\circ - m(\angle C)$ olduğunu bulmuştuk.

  Bu durumda, $m(\angle AHB) = 180^\circ - m(\angle C)$ olur.

  Adım 1'de $m(\angle C) = 75^\circ$ bulmuştuk. Şimdi bu değeri yerine yazalım:

  $m(\angle AHB) = 180^\circ - 75^\circ$

  $m(\angle AHB) = 105^\circ$

Bu tür sorularda, diklik merkezinin oluşturduğu açılar ile üçgenin açıları arasındaki $180^\circ$ fark ilişkisini hatırlamak size hız kazandıracaktır. Yani, diklik merkezinde iki köşenin oluşturduğu açı, üçüncü köşenin açısının $180^\circ$'ye tamamlayanıdır.

Cevap C seçeneğidir.