Bir ABC üçgeninin diklik merkezi H noktasıdır. A, B, C ve H noktalarından herhangi üçü doğrusal olmadığına göre, bu dört noktadan kaç farklı üçgen oluşturulabilir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Bu soruda, verilen dört noktadan kaç farklı üçgen oluşturulabileceğini bulmamız isteniyor. Haydi adım adım inceleyelim:
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Bize bir ABC üçgeni ve bu üçgenin diklik merkezi olan H noktası verilmiş.
- Önemli bir bilgi de A, B, C ve H noktalarından herhangi üçünün doğrusal olmadığıdır. Bu, seçtiğimiz her üç noktanın kesinlikle bir üçgen oluşturacağı anlamına gelir.
- Toplamda elimizde 4 farklı nokta var: A, B, C ve H.
- 2. Adım: Ne Aradığımızı Belirleyelim
- Bu 4 noktadan kaç farklı üçgen oluşturulabileceğini bulmak istiyoruz. Bir üçgen oluşturmak için 3 noktaya ihtiyacımız vardır.
- 3. Adım: Kombinasyon Kavramını Hatırlayalım
- Bir grup eleman arasından belirli sayıda elemanı seçme işlemine kombinasyon denir. Seçim sırası önemli değildir. Örneğin, ABC üçgeni ile BCA üçgeni aynı üçgendir.
- $n$ farklı eleman arasından $k$ eleman seçme kombinasyon formülü şu şekildedir: $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
- Burada $n!$ (n faktöriyel), $n \times (n-1) \times \dots \times 1$ anlamına gelir.
- 4. Adım: Formülü Uygulayalım
- Elimizde 4 nokta var, yani $n=4$.
- Bir üçgen oluşturmak için 3 nokta seçmeliyiz, yani $k=3$.
- Formülü uygulayalım: $C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!}$
- $C(4, 3) = \frac{4!}{3!1!}$
- $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
- $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
- $1! = 1$
- Şimdi değerleri yerine koyalım: $C(4, 3) = \frac{24}{6 \times 1} = \frac{24}{6} = 4$
- 5. Adım: Oluşturulabilecek Üçgenleri Listeleyelim (Ek Açıklama)
- Bu 4 farklı noktadan oluşturulabilecek 4 farklı üçgen şunlardır:
- 1. Üçgen: ABC
- 2. Üçgen: ABH
- 3. Üçgen: ACH
- 4. Üçgen: BCH
Gördüğümüz gibi, toplamda 4 farklı üçgen oluşturulabilir.
Cevap B seçeneğidir.
