Arcsin (Ark sinüs) nedir Test 2

Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = arcsin(2x - 1) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-1, 1]
B) [0, 1]
C) [-1, 0]
D) [0, 2]

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir fonksiyonun tanım kümesini bulma konusunu, özellikle ters trigonometrik fonksiyonlardan biri olan $\arcsin$ fonksiyonu üzerinden adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = \arcsin(2x - 1)$ olarak verilmiştir.

• 1. $\arcsin$ Fonksiyonunun Tanım Kümesini Hatırlayalım:

  Bir $\arcsin(u)$ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için, argümanı olan $u$'nun mutlaka $[-1, 1]$ aralığında olması gerekir. Yani, $-1 \le u \le 1$ eşitsizliğinin sağlanması zorunludur. Bu kural, $\arcsin$ fonksiyonunun temel tanımından gelir çünkü sinüs fonksiyonunun tersi alınırken, sinüs fonksiyonunun değer aralığı olan $[-1, 1]$'den gelen değerler kullanılır.

• 2. Fonksiyonumuzdaki Argümanı Belirleyelim:

  Verilen $f(x) = \arcsin(2x - 1)$ fonksiyonunda, $\arcsin$ ifadesinin içindeki kısım, yani argümanımız $u = 2x - 1$'dir.

• 3. Tanım Kümesi Eşitsizliğini Kuralım:

  Yukarıdaki kurala göre, $2x - 1$ ifadesinin $[-1, 1]$ aralığında olması gerekir. Bu durumu bir eşitsizlik olarak yazarsak:

  $-1 \le 2x - 1 \le 1$

• 4. Eşitsizliği Çözerek $x$'in Aralığını Bulalım:

  Şimdi bu eşitsizliği $x$ için çözmemiz gerekiyor. Eşitsizliğin her tarafına $1$ ekleyerek $2x$ ifadesini yalnız bırakalım:

  $-1 + 1 \le 2x - 1 + 1 \le 1 + 1$

  $0 \le 2x \le 2$

  Şimdi eşitsizliğin her tarafını $2$'ye bölelim:

  $\frac{0}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{2}{2}$

  $0 \le x \le 1$

• 5. Tanım Kümesini Belirtelim:

  Bulduğumuz $0 \le x \le 1$ eşitsizliği, $x$'in $0$ ile $1$ arasında, bu sayılar dahil olmak üzere tüm değerleri alabileceği anlamına gelir. Bu aralık, kapalı aralık gösterimiyle $[0, 1]$ şeklinde ifade edilir.

Bu nedenle, $f(x) = \arcsin(2x - 1)$ fonksiyonunun tanım kümesi $[0, 1]$'dir.

Cevap B seçeneğidir.