6. sınıf matematik doğal sayıları asal çarpanlarına ayırma test çöz Test 2

180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^a \times 3^b \times 5^c \) şeklindedir. Buna göre \( a + b + c \) toplamı kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma ve bu çarpanların üslerini kullanarak bir toplam bulma becerimizi test edeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.

1. Adım: 180 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, o sayıyı sadece asal sayıların (2, 3, 5, 7, ...) çarpımı şeklinde yazmak demektir. Bunun için sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam ederiz:

• 180 sayısını en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: $180 \div 2 = 90$.
• Elde ettiğimiz 90 sayısını tekrar 2'ye bölebiliriz: $90 \div 2 = 45$.
• Şimdi 45 sayısını 2'ye bölemeyiz (çünkü tek sayıdır). Bir sonraki asal sayı olan 3'e geçelim: $45 \div 3 = 15$.
• 15 sayısını tekrar 3'e bölebiliriz: $15 \div 3 = 5$.
• 5 sayısı bir asal sayıdır. Bu yüzden 5'i kendisine böleriz: $5 \div 5 = 1$.

Bölme işlemi 1'e ulaştığında tamamlanmış olur. Kullandığımız tüm asal çarpanları bir araya getirelim:

• $180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$.

2. Adım: Asal Çarpanları Üslü Biçimde Yazma

Şimdi bulduğumuz asal çarpanları üslü ifade şeklinde yazalım:

• İki tane 2 çarpanı olduğu için $2^2$ şeklinde yazarız.
• İki tane 3 çarpanı olduğu için $3^2$ şeklinde yazarız.
• Bir tane 5 çarpanı olduğu için $5^1$ şeklinde yazarız (genellikle üssü 1 olan sayılarda 1 yazılmaz ama burada açıkça belirtelim).

Böylece 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^2 \times 3^2 \times 5^1$ olur.

3. Adım: $a, b, c$ Değerlerini Bulma

Soruda 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halinin $2^a \times 3^b \times 5^c$ şeklinde olduğu belirtilmişti. Kendi bulduğumuz ifadeyle karşılaştıralım:

• $2^a$ ile $2^2$ karşılaştırıldığında, tabanlar aynı olduğu için üsler de eşit olmalıdır. Yani $a = 2$.
• $3^b$ ile $3^2$ karşılaştırıldığında, $b = 2$.
• $5^c$ ile $5^1$ karşılaştırıldığında, $c = 1$.

4. Adım: $a + b + c$ Toplamını Hesaplama

Son olarak, bizden istenen $a + b + c$ toplamını bulalım:

• $a + b + c = 2 + 2 + 1 = 5$.

Bu durumda, $a+b+c$ toplamı 5'tir.

Cevap B seçeneğidir.