Bir top, yerden 10 metre yükseklikten yatayla 45° açıyla fırlatılıyor. Topun izlediği yol h(t) = -5t² + 10t + 10 denklemiyle modelleniyor.
Buna göre topun maksimum yüksekliği kaç metredir?
Bu soruda, bir topun yerden yüksekliğini zamana bağlı olarak veren bir denklemle karşı karşıyayız. Denklemi inceleyerek topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği bulacağız. Hadi adım adım ilerleyelim:
Topun izlediği yol $h(t) = -5t^2 + 10t + 10$ denklemiyle modelleniyor. Bu denklem, parabolik bir hareketi temsil eden ikinci dereceden bir fonksiyondur. Burada $h(t)$ topun $t$ anındaki yüksekliğini, $t$ ise zamanı (saniye cinsinden) ifade eder.
Genel olarak, $ax^2 + bx + c$ şeklindeki ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Eğer $a$ katsayısı negatifse (bizim durumumuzda $a = -5$), parabol aşağı doğru açılır ve bir tepe noktasına (maksimum noktaya) sahiptir. İşte bu tepe noktasının y-koordinatı, aradığımız maksimum yüksekliği verecektir.
Bir parabolün tepe noktasının x-koordinatı (bizim durumumuzda $t$-koordinatı) $t = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. Bu formül bize topun maksimum yüksekliğe ulaştığı anı (zamanı) verir.
Denklemimiz $h(t) = -5t^2 + 10t + 10$ olduğuna göre, katsayıları belirleyelim:
$a = -5$
$b = 10$
$c = 10$
Şimdi $t$ değerini hesaplayalım:
$t = -\frac{10}{2 \times (-5)}$
$t = -\frac{10}{-10}$
$t = 1$ saniye
Yani, top fırlatıldıktan 1 saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşacaktır.
Topun maksimum yüksekliğe ulaştığı zamanı ($t=1$ saniye) bulduğumuza göre, bu değeri $h(t)$ denkleminde yerine koyarak maksimum yüksekliği hesaplayabiliriz:
$h(1) = -5(1)^2 + 10(1) + 10$
$h(1) = -5(1) + 10 + 10$
$h(1) = -5 + 10 + 10$
$h(1) = 15$ metre
Bu durumda, topun ulaşabileceği maksimum yükseklik 15 metredir.
Cevap A seçeneğidir.
