A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A'dan B'ye tanımlanan aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birebir fonksiyondur?
A) f = {(1,a), (2,a), (3,b)}
B) f = {(1,a), (2,b), (3,c)}
C) f = {(1,a), (2,b), (3,a)}
D) f = {(1,a), (2,b)}
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, fonksiyon türlerinden biri olan "birebir fonksiyon" kavramını anlamamız gerekiyor. Gelin, adım adım bu kavramı ve soruyu inceleyelim.
- Fonksiyon Nedir?
Öncelikle bir fonksiyonun ne olduğunu hatırlayalım. Bir $A$ kümesinden bir $B$ kümesine tanımlanan bir $f$ fonksiyonu, $A$ kümesindeki her bir elemanı $B$ kümesindeki yalnızca bir elemanla eşler. Yani, $A$ kümesinde boşta eleman kalmaz ve $A$'daki hiçbir eleman $B$'deki iki farklı elemanla eşleşmez.
- Birebir (Injective) Fonksiyon Nedir?
Bir fonksiyonun birebir olması demek, tanım kümesindeki (burada $A$ kümesi) farklı elemanların değer kümesinde (burada $B$ kümesi) de farklı elemanlara gitmesi demektir. Başka bir deyişle, eğer $x_1 \neq x_2$ ise, $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Hiçbir iki farklı eleman aynı görüntüye sahip olamaz.
- Verilen Kümeler:
Tanım kümemiz $A = \{1, 2, 3\}$ ve değer kümemiz $B = \{a, b, c, d\}$ olarak verilmiştir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim.
- A) $f = \{(1,a), (2,a), (3,b)\}$ seçeneğini inceleyelim:
- Burada $f(1) = a$ ve $f(2) = a$ görüyoruz.
- Tanım kümesindeki $1$ ve $2$ elemanları birbirinden farklıdır ($1 \neq 2$).
- Ancak, bu farklı elemanlar değer kümesinde aynı elemana ($a$) gitmiştir ($f(1) = f(2) = a$).
- Bu durum, birebir fonksiyon tanımına aykırıdır. Dolayısıyla, bu fonksiyon birebir değildir.
- B) $f = \{(1,a), (2,b), (3,c)\}$ seçeneğini inceleyelim:
- Burada $f(1) = a$, $f(2) = b$ ve $f(3) = c$ görüyoruz.
- Tanım kümesindeki her bir eleman ($1, 2, 3$) değer kümesinde farklı bir elemana ($a, b, c$) gitmiştir.
- $1 \neq 2 \implies f(1) \neq f(2)$ ($a \neq b$)
- $1 \neq 3 \implies f(1) \neq f(3)$ ($a \neq c$)
- $2 \neq 3 \implies f(2) \neq f(3)$ ($b \neq c$)
- Bu fonksiyon birebir fonksiyon tanımına tamamen uymaktadır.
- C) $f = \{(1,a), (2,b), (3,a)\}$ seçeneğini inceleyelim:
- Burada $f(1) = a$ ve $f(3) = a$ görüyoruz.
- Tanım kümesindeki $1$ ve $3$ elemanları birbirinden farklıdır ($1 \neq 3$).
- Ancak, bu farklı elemanlar değer kümesinde aynı elemana ($a$) gitmiştir ($f(1) = f(3) = a$).
- Bu durum, birebir fonksiyon tanımına aykırıdır. Dolayısıyla, bu fonksiyon birebir değildir.
- D) $f = \{(1,a), (2,b)\}$ seçeneğini inceleyelim:
- Bu seçenek, $A$ kümesindeki tüm elemanları $B$ kümesindeki elemanlarla eşlememektedir. $A$ kümesinin elemanı olan $3$ için bir eşleşme yoktur.
- Bir fonksiyonun tanımına göre, tanım kümesindeki her elemanın bir görüntüsü olmalıdır.
- Bu nedenle, bu ifade $A$'dan $B$'ye tanımlanmış bir fonksiyon bile değildir. Dolayısıyla birebir olup olmadığını incelememize gerek kalmaz.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece B seçeneğindeki fonksiyonun birebir fonksiyon tanımına uyduğunu görmekteyiz.
Cevap B seçeneğidir.
