Birebir fonksiyon nedir Test 2

f: R - {2} → R - {1} olmak üzere f(x) = (x + 1)/(x - 2) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Birebir değildir
B) Birebirdir ama örten değildir
C) Örtendir ama birebir değildir
D) Hem birebir hem örtendir

Bu soruda, verilen bir fonksiyonun birebir (one-to-one) ve örten (onto) özelliklerini adım adım inceleyelim. Bu kavramları anlamak ve uygulamak, fonksiyonları derinlemesine kavramak için çok önemlidir.

• Fonksiyonun Tanımı:

  Bize $f: R - \{2\} \rightarrow R - \{1\}$ olmak üzere $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ fonksiyonu verilmiş. Burada tanım kümesi $R - \{2\}$ (yani $x \neq 2$ olmalı, çünkü payda sıfır olamaz) ve değer kümesi $R - \{1\}$ (fonksiyonun alabileceği değerlerin kümesi) olarak belirtilmiştir.

• 1. Birebir (One-to-one) Olma Durumu:

  Bir fonksiyonun birebir olması demek, tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesinde farklı görüntülere sahip olması demektir. Matematiksel olarak, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu durumda $x_1 = x_2$ olmalıdır.

  Şimdi bu tanımı fonksiyonumuza uygulayalım:

  Eşitliği kuralım: $f(x_1) = f(x_2)$

  $\frac{x_1 + 1}{x_1 - 2} = \frac{x_2 + 1}{x_2 - 2}$

  İçler dışlar çarpımı yapalım:

  $(x_1 + 1)(x_2 - 2) = (x_2 + 1)(x_1 - 2)$

  Parantezleri açalım:

  $x_1 x_2 - 2x_1 + x_2 - 2 = x_1 x_2 - 2x_2 + x_1 - 2$

  Eşitliğin her iki tarafından $x_1 x_2$ ve $-2$ terimlerini çıkaralım (ya da sadeleştirelim):

  $-2x_1 + x_2 = -2x_2 + x_1$

  $x_1$ terimlerini bir tarafa, $x_2$ terimlerini diğer tarafa toplayalım:

  $x_2 + 2x_2 = x_1 + 2x_1$

  $3x_2 = 3x_1$

  Her iki tarafı $3$'e bölelim:

  $x_2 = x_1$

  Sonuç olarak, $f(x_1) = f(x_2)$ eşitliğinden $x_1 = x_2$ sonucuna ulaştık. Bu da fonksiyonun birebir olduğunu gösterir.

• 2. Örten (Onto) Olma Durumu:

  Bir fonksiyonun örten olması demek, değer kümesindeki her eleman için tanım kümesinde en az bir karşılık gelen eleman (ön görüntü) bulunması demektir. Yani, değer kümesindeki hiçbir eleman boşta kalmamalıdır. Matematiksel olarak, fonksiyonun görüntü kümesi (Range) ile değer kümesi (Codomain) birbirine eşit olmalıdır.

  Fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için $y = f(x)$ eşitliğinden $x$'i $y$ cinsinden ifade etmeye çalışırız:

  $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

  İçler dışlar çarpımı yapalım:

  $y(x - 2) = x + 1$

  Parantezi açalım:

  $xy - 2y = x + 1$

  $x$'li terimleri bir tarafa, diğer terimleri diğer tarafa toplayalım:

  $xy - x = 2y + 1$

  $x$ parantezine alalım:

  $x(y - 1) = 2y + 1$

  $x$'i yalnız bırakalım:

  $x = \frac{2y + 1}{y - 1}$

  Şimdi bulduğumuz $x$ ifadesini inceleyelim. Bu $x$ değerinin tanım kümesinde ($R - \{2\}$) olması gerekir. $x$ ifadesinin tanımsız olmaması için paydasının sıfır olmaması gerekir, yani $y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$.

  Bu durumda, fonksiyonun alabileceği değerler kümesi (görüntü kümesi) $R - \{1\}$'dir.

  Soruda verilen değer kümesi (Codomain) de $R - \{1\}$ idi.

  Görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşit olduğu için, fonksiyon örtendir.

• Sonuç:

  Yaptığımız incelemeler sonucunda, verilen $f(x)$ fonksiyonunun hem birebir hem de örten olduğunu bulduk.

Cevap D seçeneğidir.