Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, 5 elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek hem yansıyan (refleksif) hem de simetrik bağıntı sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür bağıntıların nasıl oluşturulduğunu anlayalım.
- Adım 1: Küme ve Bağıntının Temelleri
- Öncelikle, $A$ kümesinin eleman sayısını $n$ ile gösterelim. Soruda $n=5$ olarak verilmiştir.
- Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı $R$, $A \times A$ kartezyen çarpım kümesinin bir alt kümesidir.
- $A \times A$ kümesinin eleman sayısı $n^2$ kadardır. Bizim durumumuzda $5^2 = 25$ tane sıralı ikili (ordered pair) vardır.
- Genel olarak, her bir sıralı ikili $(x,y)$ için $R$'nin içinde olup olmama olmak üzere 2 seçeneğimiz vardır. Bu da toplam $2^{n^2}$ farklı bağıntı tanımlanabileceği anlamına gelir. Ancak bizden özel koşulları sağlayan bağıntılar isteniyor.
- Adım 2: Yansıyan (Refleksif) Bağıntı Koşulu
- Bir bağıntının yansıyan olması için, kümedeki her $a$ elemanı için $(a,a)$ sıralı ikilisinin bağıntıda bulunması gerekir. Yani, $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$ ise, $(a_1,a_1), (a_2,a_2), (a_3,a_3), (a_4,a_4), (a_5,a_5)$ elemanları $R$'de olmak zorundadır.
- Bu koşul, $n$ tane sıralı ikilinin ($n=5$ için 5 tane) $R$'de bulunmasını zorunlu kılar. Bu elemanlar için seçim hakkımız yoktur, hepsi $R$'de olmak zorundadır. Yani, bu 5 eleman için $1$er seçim hakkımız vardır.
- Adım 3: Simetrik Bağıntı Koşulu
- Bir bağıntının simetrik olması için, eğer $(a,b)$ bağıntıda ise, $(b,a)$'nın da bağıntıda olması gerekir.
- Yansıyanlık koşulunda zaten $n$ tane $(a,a)$ şeklindeki elemanın $R$'de olduğunu belirlemiştik. Bu elemanlar için simetri koşulu otomatik olarak sağlanır çünkü $(a,a)$'nın tersi yine $(a,a)$'dır.
- Şimdi köşegen dışı elemanlara odaklanalım. Toplam $n^2$ elemandan $n$ tanesi köşegen elemanlarıdır. Geriye kalan $n^2 - n$ tane eleman köşegen dışı elemanlardır. Bizim durumumuzda $5^2 - 5 = 25 - 5 = 20$ tane köşegen dışı eleman vardır.
- Bu 20 eleman, birbirinin tersi olan ikililer halinde gruplandırılabilir. Örneğin, $(a_1,a_2)$ ve $(a_2,a_1)$ bir gruptur. Bu şekilde $\frac{n^2 - n}{2}$ tane ikili grup oluşur.
- Bizim durumumuzda $\frac{20}{2} = 10$ tane ikili grup vardır. Örneğin, $\{(a_1,a_2), (a_2,a_1)\}$, $\{(a_1,a_3), (a_3,a_1)\}$, ..., $\{(a_4,a_5), (a_5,a_4)\}$ gibi.
- Her bir ikili grup için simetri koşulunu sağlamak üzere 2 seçeneğimiz vardır:
- Ya her iki eleman da ($ (a,b) $ ve $ (b,a) $) bağıntının içindedir.
- Ya da her iki eleman da ($ (a,b) $ ve $ (b,a) $) bağıntının içinde değildir.
- Bu 10 ikili grup için birbirinden bağımsız olarak 2'şer seçim yapabiliriz. Bu da $2^{10}$ farklı seçim anlamına gelir.
- Adım 4: Sonuçların Birleştirilmesi
- Yansıyanlık koşulu nedeniyle 5 adet köşegen elemanı $R$'de olmak zorundadır (1er seçim).
- Simetri koşulu nedeniyle 10 adet köşegen dışı ikili grup için 2'şer seçim hakkımız vardır ($2^{10}$ seçim).
- Bu iki koşul birbirinden bağımsız olduğu için, toplam yansıyan ve simetrik bağıntı sayısı bu seçimlerin çarpımı olacaktır: $1 \times 2^{10} = 2^{10}$.
Buna göre, 5 elemanlı bir kümenin kendisi üzerine tanımlanabilecek yansıyan ve simetrik bağıntı sayısı $2^{10}$'dur.
Cevap B seçeneğidir.
