Sevgili öğrenciler, bu soruda bizden istenen, verilen ifadelerden hangisinin değişkenin (yani $x$'in) tüm gerçek sayı değerleri için doğru olan bir açık önerme olduğunu bulmaktır.
Öncelikle temel kavramları hatırlayalım:
- Açık Önerme: İçinde değişken (örneğin $x$) bulunan ve bu değişkene farklı değerler verildiğinde doğru veya yanlış olabilen bir ifadedir. Örneğin, "$x^2 = 9$" bir açık önermedir. $x=3$ için doğru, $x=1$ için yanlıştır.
- Değişkenin Tüm Gerçek Sayı Değerleri İçin Doğru Olmak: Bu, $x$ yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım, ifadenin her zaman doğru bir sonuç vermesi gerektiği anlamına gelir. Matematikte buna "özdeşlik" de denir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $x^2 = 4$
- Bu bir açık önermedir.
- Peki, $x$'in tüm gerçek sayı değerleri için doğru mudur? Hayır.
- Bu ifade sadece $x=2$ veya $x=-2$ olduğunda doğrudur. Örneğin, $x=1$ için $1^2 = 1 \neq 4$ olduğundan bu ifade yanlıştır. Dolayısıyla, tüm gerçek sayılar için doğru değildir.
- B) $x + 1 = x - 1$
- Bu da bir açık önermedir.
- $x$'in tüm gerçek sayı değerleri için doğru olup olmadığını anlamak için denklemi çözmeye çalışalım. Eşitliğin her iki tarafından $x$ çıkarırsak: $1 = -1$ elde ederiz.
- $1 = -1$ ifadesi matematiksel olarak her zaman yanlıştır. Bu, başlangıçtaki $x + 1 = x - 1$ denkleminin hiçbir $x$ gerçek sayısı için doğru olmadığı anlamına gelir. Dolayısıyla, tüm gerçek sayılar için doğru değildir.
- C) $2x = x + x$
- Bu bir açık önermedir.
- Şimdi sağ tarafı sadeleştirelim: $x + x = 2x$.
- Denklemimiz $2x = 2x$ haline gelir.
- Bu ifade, $x$ yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım her zaman doğrudur. Örneğin, $x=5$ için $2(5) = 5+5 \Rightarrow 10=10$. $x=-3$ için $2(-3) = -3+(-3) \Rightarrow -6=-6$. Bu bir özdeşliktir.
- Dolayısıyla, bu ifade $x$'in tüm gerçek sayı değerleri için doğrudur.
- D) $x > x + 1$
- Bu bir açık önermedir (bir eşitsizliktir).
- $x$'in tüm gerçek sayı değerleri için doğru olup olmadığını anlamak için eşitsizliği sadeleştirelim. Eşitsizliğin her iki tarafından $x$ çıkarırsak: $0 > 1$ elde ederiz.
- $0 > 1$ ifadesi matematiksel olarak her zaman yanlıştır. Bu, başlangıçtaki $x > x + 1$ eşitsizliğinin hiçbir $x$ gerçek sayısı için doğru olmadığı anlamına gelir. Dolayısıyla, tüm gerçek sayılar için doğru değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $x$'in tüm gerçek sayı değerleri için doğru olan açık önermenin C seçeneğinde yer alan $2x = x + x$ ifadesi olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
