\( 3^{x^2-5} = 3^{4x} \) denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 4Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek üslü denklemler ve ikinci dereceden denklemler konusundaki bilgimizi pekiştirelim.
Adım 1: Denklemi Anlama ve Temel Kuralı Uygulama
Denklemimiz $3^{x^2-5} = 3^{4x}$ şeklindedir. Üslü denklemlerde çok önemli bir kural vardır: Eğer tabanlar eşitse, üsler de birbirine eşit olmak zorundadır. Bu denklemde her iki tarafın tabanı da $3$'tür.
Bu kuralı uygulayarak üsleri birbirine eşitleyelim:
$x^2 - 5 = 4x$
Adım 2: Denklemi Standart Bir İkinci Dereceden Denklem Şekline Getirme
Elde ettiğimiz $x^2 - 5 = 4x$ denklemini, tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart bir ikinci dereceden denklem olan $ax^2 + bx + c = 0$ formatına getirmeliyiz. Bunun için $4x$ terimini sol tarafa atalım. Bir terim eşitliğin diğer tarafına geçtiğinde işaret değiştirir:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Adım 3: İkinci Dereceden Denklemi Çözme
Şimdi $x^2 - 4x - 5 = 0$ denklemini çözerek $x$ değerlerini bulmalıyız. Bu denklemi çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebiliriz. Çarpımları $-5$ olan ve toplamları $-4$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-5$ ve $1$'dir.
Denklemi şu şekilde çarpanlarına ayırabiliriz:
$(x-5)(x+1) = 0$
Adım 4: x Değerlerini Bulma
Çarpanlara ayırdığımız ifadeyi sıfıra eşitleyerek $x$ değerlerini buluruz. Bir çarpımın sonucu sıfırsa, çarpanlardan en az biri sıfır olmalıdır:
Bu denklemi sağlayan $x$ değerleri $5$ ve $-1$'dir.
Adım 5: x Değerlerinin Toplamını Bulma
Soruda bizden bu $x$ değerlerinin toplamı isteniyor. Bulduğumuz $x_1$ ve $x_2$ değerlerini toplayalım:
$x_1 + x_2 = 5 + (-1) = 5 - 1 = 4$
İkinci dereceden bir denklemin kökler toplamını bulmak için $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminde kökler toplamı formülü olan $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ formülünü de kullanabilirdik. Bizim denklemimiz $x^2 - 4x - 5 = 0$ olduğu için $a=1$, $b=-4$ ve $c=-5$'tir. Formülü uyguladığımızda $x_1 + x_2 = -\frac{(-4)}{1} = 4$ sonucunu elde ederiz. Bu da çözümümüzü doğrular.
Denklemi sağlayan $x$ değerlerinin toplamı $4$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
