8. $x^2 - 5x + 6 = 0$ denkleminin çözüm kümesini bulmak isteyen bir algoritma aşağıdaki adımları izler:
1. Denklemi $(x-2)(x-3) = 0$ şeklinde çarpanlarına ayır
2. Her çarpanı sıfıra eşitle: $x-2=0$ veya $x-3=0$
3. Çözüm kümesini bul: $\{2, 3\}$
Bu algoritmanın analizinde hangi matematiksel prensip kullanılmıştır?
A) Diskriminant yöntemi
B) Sıfır çarpım özelliği
C) Tam kareye tamamlama
D) Türev alma
Bu soruda, bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılan bir algoritma verilmiş ve bu algoritmanın temelinde yatan matematiksel prensip sorulmuştur. Adımları dikkatlice inceleyelim:
- 1. Adım: Denklemi çarpanlarına ayırma. Verilen $x^2 - 5x + 6 = 0$ denklemi, $(x-2)(x-3) = 0$ şeklinde çarpanlarına ayrılmıştır. Bu adım, denklemi çözüme uygun bir forma getirmektir.
- 2. Adım: Her çarpanı sıfıra eşitleme. $(x-2)(x-3) = 0$ ifadesinden, $x-2=0$ veya $x-3=0$ sonucuna ulaşılmıştır. İşte bu adım, sorunun cevabını barındıran kritik noktadır.
- 3. Adım: Çözüm kümesini bulma. $x-2=0 \implies x=2$ ve $x-3=0 \implies x=3$ denklemlerinden çözüm kümesi $\{2, 3\}$ olarak bulunmuştur.
Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) Diskriminant yöntemi: Bu yöntem, $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindeki bir denklemin köklerini bulmak için $\Delta = b^2 - 4ac$ diskriminantını kullanarak $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ formülünü kullanır. Verilen algoritma bu formülü kullanmamıştır.
- B) Sıfır çarpım özelliği: Bu özellik, "eğer iki veya daha fazla sayının çarpımı sıfır ise, bu sayılardan en az biri sıfır olmalıdır" der. Yani, eğer $A \cdot B = 0$ ise, $A=0$ veya $B=0$ olmalıdır. Algoritmanın 2. adımında tam olarak bu prensip kullanılmıştır: $(x-2)$ ve $(x-3)$ ifadelerinin çarpımı sıfır olduğu için, ya $(x-2)$ sıfırdır ya da $(x-3)$ sıfırdır. Bu, algoritmanın temelini oluşturan prensiptir.
- C) Tam kareye tamamlama: Bu yöntem, bir ikinci dereceden denklemi $(x+a)^2 = b$ şeklinde bir tam kare ifadeye dönüştürerek çözmeyi amaçlar. Algoritma bu yöntemi kullanmamıştır.
- D) Türev alma: Türev alma, bir fonksiyonun değişim oranını bulmak için kullanılan bir kalkülüs kavramıdır ve bu tür bir denklemi çözmek için doğrudan kullanılan bir yöntem değildir.
Bu durumda, algoritmanın 2. adımında kullanılan temel matematiksel prensip, Sıfır çarpım özelliğidir.
Cevap B seçeneğidir.
