Bir üçgenin çevresi 60 cm'dir ve bu üçgen 5-12-13 üçgeni ile benzerdir. Bu üçgenin en kısa kenarı kaç cm'dir?
A) 5Merhaba sevgili öğrencilerim! Bu soruda, benzer üçgenler ve çevre kavramlarını kullanarak bir üçgenin kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve konuyu iyice kavrayalım.
İki üçgenin benzer olması demek, açılarının aynı, kenar uzunluklarının ise orantılı olması demektir. Bu orana "benzerlik oranı" (genellikle $k$ ile gösterilir) deriz. Eğer iki üçgen benzerse, kenar uzunlukları arasındaki oran neyse, çevreleri arasındaki oran da aynıdır.
Bize referans olarak bir 5-12-13 üçgeni verilmiş. Bu, kenar uzunlukları 5 birim, 12 birim ve 13 birim olan özel bir dik üçgendir (Pisagor üçlüsü). Bu üçgenin çevresini hesaplayalım:
Çevre (5-12-13 üçgeni) $= 5 + 12 + 13 = 30$ cm.
Bu üçgenin en kısa kenarı 5 cm'dir.
Sorudaki üçgenimiz, 5-12-13 üçgeni ile benzer olduğuna göre, kenar uzunlukları 5, 12 ve 13'ün belirli bir $k$ benzerlik oranıyla çarpılmış hali olacaktır. Yani, kendi üçgenimizin kenarları $5k$, $12k$ ve $13k$ şeklinde ifade edilebilir.
Kendi üçgenimizin çevresi de bu kenarların toplamı olacaktır:
Çevre (kendi üçgenimiz) $= 5k + 12k + 13k = (5+12+13)k = 30k$.
Soruda kendi üçgenimizin çevresinin 60 cm olduğu bilgisi verilmiş. Az önce bulduğumuz çevre ifadesini bu bilgiye eşitleyelim:
$30k = 60$ cm.
Şimdi $k$ değerini bulmak için her iki tarafı 30'a bölelim:
$k = \frac{60}{30} = 2$.
Demek ki, bizim üçgenimiz 5-12-13 üçgeninin kenar uzunluklarının 2 katına sahiptir.
Benzerlik oranını ($k=2$) bulduğumuza göre, kendi üçgenimizin kenar uzunluklarını hesaplayabiliriz:
Kontrol edelim: $10 + 24 + 26 = 60$ cm. Çevre bilgisiyle uyuşuyor!
Soru bizden bu üçgenin en kısa kenarını istediği için cevabımız 10 cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
