Bir veri setindeki tüm değerler 2 katına çıkarılırsa standart sapma için ne söylenebilir?
A) DeğişmezBu soruyu çözmek için standart sapmanın ne anlama geldiğini ve veri setindeki değerlerin nasıl değiştiğinde standart sapmanın nasıl etkilendiğini adım adım inceleyelim.
Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saptığını, yani ne kadar yayıldığını gösteren bir ölçüdür. Değerler ortalamadan ne kadar uzaksa, standart sapma o kadar büyük olur.
Standart sapmanın formülü (popülasyon için) genellikle şu şekildedir: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}$ Burada $x_i$ her bir veri noktası, $\mu$ veri setinin ortalaması ve $N$ veri setindeki eleman sayısıdır.
Eğer bir veri setindeki her bir değer ($x_i$) 2 katına çıkarılırsa, yani $2x_i$ olursa, veri setinin yeni ortalaması ($\mu'$) da eski ortalamanın ($\mu$) 2 katı olacaktır. Yani $\mu' = 2\mu$.
Örnek: {1, 2, 3} veri setinin ortalaması 2'dir. Eğer her değeri 2 katına çıkarırsak {2, 4, 6} veri setinin ortalaması 4 olur ki bu da eski ortalamanın 2 katıdır.
Eski veri setinde bir değerin ortalamadan farkı $(x_i - \mu)$ idi.
Yeni veri setinde ise her bir değer $2x_i$ ve yeni ortalama $2\mu$ olduğuna göre, yeni fark $(2x_i - 2\mu)$ olacaktır. Bu ifadeyi $2(x_i - \mu)$ şeklinde yazabiliriz.
Gördüğümüz gibi, her bir değerin ortalamadan farkı da 2 katına çıkmıştır.
Standart sapma formülünde sapmaların kareleri toplamı ($\sum (x_i - \mu)^2$) bulunur.
Yeni durumda, her bir sapma $2(x_i - \mu)$ olduğuna göre, bunun karesi $(2(x_i - \mu))^2 = 4(x_i - \mu)^2$ olacaktır.
Dolayısıyla, sapmaların kareleri toplamı da 4 katına çıkacaktır: $\sum 4(x_i - \mu)^2 = 4 \sum (x_i - \mu)^2$.
Varyans, standart sapmanın karesidir ($\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}$).
Yeni durumda varyans ($\sigma'^2$) şöyle olacaktır: $\sigma'^2 = \frac{\sum 4(x_i - \mu)^2}{N} = 4 \cdot \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} = 4\sigma^2$.
Yani varyans 4 katına çıkar.
Yeni varyans $\sigma'^2 = 4\sigma^2$ olduğuna göre, yeni standart sapmayı bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:
$\sigma' = \sqrt{4\sigma^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\sigma^2} = 2\sigma$.
Bu durumda, standart sapma 2 katına çıkar.
Özetle, bir veri setindeki tüm değerler sabit bir katsayıyla (örneğin 2 ile) çarpıldığında, standart sapma da aynı katsayıyla (2 ile) çarpılır.
Cevap B seçeneğidir.
