\(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminin kökleri için Δ > 0 olduğu biliniyor. Aşağıdaki grafiklerden hangisi bu denklemin grafiği olabilir?
A) x-eksenine teğet parabol
B) x-eksenini kesmeyen parabol
C) x-eksenini iki noktada kesen parabol
D) y-eksenine simetrik parabol
Merhaba öğrenciler,
Bu soruda, $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindeki ikinci dereceden bir denklemin kökleri için $\Delta > 0$ olduğu bilgisi verilmiş ve bu denklemin grafiğinin ne olabileceği sorulmuştur. Şimdi bu durumu adım adım inceleyelim:
- Diskriminant ($\Delta$) Nedir?
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığını ve niteliğini belirleyen ifadeye diskriminant denir. Diskriminant, $\Delta = b^2 - 4ac$ formülü ile hesaplanır.
- Diskriminantın Köklerle İlişkisi:
Diskriminantın değeri, denklemin kaç farklı gerçek kökü olduğunu gösterir:
- Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
- Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin birbirine eşit (çakışık) iki gerçek kökü vardır (tek kök olarak da ifade edilir).
- Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçek kökü yoktur (iki karmaşık kökü vardır).
- Denklemin Grafiği (Parabol) ve Kökler Arasındaki İlişki:
İkinci dereceden bir denklemin grafiği bir paraboldür. Bu parabolün x-eksenini kestiği noktalar, denklemin gerçek kökleridir. Bu durumda:
- Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin iki farklı gerçek kökü olduğundan, parabol x-eksenini iki farklı noktada keser.
- Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin birbirine eşit iki gerçek kökü olduğundan, parabol x-eksenine tek bir noktada teğet olur.
- Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçek kökü olmadığından, parabol x-eksenini hiç kesmez.
- Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
Soruda bize $\Delta > 0$ olduğu bilgisi verilmiştir. Bu durumda, parabolün x-eksenini iki farklı noktada kesmesi gerekir.
- A) x-eksenine teğet parabol: Bu durum $\Delta = 0$ olduğunda geçerlidir.
- B) x-eksenini kesmeyen parabol: Bu durum $\Delta < 0$ olduğunda geçerlidir.
- C) x-eksenini iki noktada kesen parabol: Bu durum $\Delta > 0$ olduğunda geçerlidir.
- D) y-eksenine simetrik parabol: Bu, parabolün tepe noktasının x koordinatının $0$ olduğu (yani $b=0$ olduğu) özel bir durumdur. $\Delta > 0$ koşuluyla doğrudan ilişkili değildir; y-eksenine simetrik bir parabol de x-eksenini kesmeyebilir, teğet olabilir veya iki noktada kesebilir.
Yukarıdaki açıklamalara göre, $\Delta > 0$ koşulunu sağlayan grafik, x-eksenini iki farklı noktada kesen paraboldür.
Cevap C seçeneğidir.
