Soru:
\( -x^2 + 4x + 1 = 0 \) denklemi verilmiştir. Diskriminantın sıfırdan büyük olduğunu ispatlayarak kökleri bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu denklemde \( a = -1 \), \( b = 4 \), \( c = 1 \) değerlerini kullanacağız. Diskriminantın işareti köklerin doğasını belirler.
- ➡️ İlk olarak Δ'yı hesaplayalım: \( \Delta = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(-1)(1) = 16 + 4 = 20 \).
- ➡️ \( \Delta = 20 > 0 \) olduğu için, denklemin iki farklı gerçek kökü vardır.
- ➡️ Kökleri bulmak için formülü uygulayalım: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{-2} \).
- ➡️ \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) şeklinde sadeleştirebiliriz: \( x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{-2} \). Payı -2'ye bölersek: \( x = 2 \mp \sqrt{5} \).
- ➡️ Buradan kökler: \( x_1 = 2 + \sqrt{5} \) ve \( x_2 = 2 - \sqrt{5} \).
✅ Denklemin kökleri \( x_1 = 2 + \sqrt{5} \) ve \( x_2 = 2 - \sqrt{5} \) olarak bulunur.
