Soru:
\( m \) bir gerçel sayı olmak üzere, aşağıdaki denklemin farklı iki gerçek kökü olması için \( m \) ne olmalıdır? Denklemin köklerini \(m\) cinsinden bulunuz.
Denklem: \( x^2 - (m+1)x + 3 = 0 \)
Çözüm:
💡 Burada parametreli bir denklem var. Farklı iki gerçek kök için Δ > 0 şartını sağlamalıyız.
- ➡️ Adım 1: Katsayıları Belirleme
\(a = 1\), \(b = -(m+1)\), \(c = 3\)
- ➡️ Adım 2: Diskriminantı Hesaplama ve Δ > 0 Şartını Yazma
Δ = \(b^2 - 4ac\) = \([-(m+1)]^2 - 4(1)(3)\) = \((m+1)^2 - 12\)
Δ > 0 ⇒ \((m+1)^2 - 12 > 0\)
- ➡️ Adım 3: Eşitsizliği Çözme
\((m+1)^2 > 12\)
\(|m+1| > \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
Bu durum \(m+1 > 2\sqrt{3}\) veya \(m+1 < -2\sqrt{3}\) demektir.
Yani \(m > -1 + 2\sqrt{3}\) veya \(m < -1 - 2\sqrt{3}\) olmalıdır.
- ➡️ Adım 4: Kökleri \(m\) cinsinden Bulma
Kökler formülünü uygularsak:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(m+1) \pm \sqrt{(m+1)^2 - 12}}{2}\)
✅ Sonuç: Denklemin farklı iki gerçek kökü olması için \(m > -1 + 2\sqrt{3}\) veya \(m < -1 - 2\sqrt{3}\) olmalıdır. Bu koşul sağlandığında kökler \(x = \frac{(m+1) \pm \sqrt{(m+1)^2 - 12}}{2}\) olur.
