Soru:
Kökleirnden biri diğerinin 2 katı olan \( x^2 - mx + 18 = 0 \) denkleminin diskriminantı sıfırdan büyüktür. Buna göre \(m\)'nin alabileceği değerleri ve denklemin köklerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu problemde hem kökler arasında bir ilişki var hem de Δ > 0 şartı mevcut. Önce kökleri temsil edip verilen ilişkiyi ve kökler çarpımını kullanacağız.
- ➡️ Adım 1: Kökleri Tanımlama ve İlişkiyi Kurma
Köklerden biri \(r\) ise diğeri \(2r\) olur. Denklemin kökleri toplamı ve çarpımı:
Kökler Toplamı: \(r + 2r = 3r = \frac{-(-m)}{1} = m\) ⇒ \(m = 3r\)
Kökler Çarpımı: \(r \times 2r = 2r^2 = \frac{18}{1} = 18\) ⇒ \(r^2 = 9\) ⇒ \(r = \pm 3\)
- ➡️ Adım 2: \(m\) Değerlerini Bulma
\(r = 3\) ise \(m = 3 \times 3 = 9\)
\(r = -3\) ise \(m = 3 \times (-3) = -9\)
- ➡️ Adım 3: Δ > 0 Şartını Kontrol Etme
Δ = \(b^2 - 4ac\) = \((-m)^2 - 4(1)(18)\) = \(m^2 - 72\)
\(m = 9\) için: Δ = \(81 - 72 = 9 > 0\) ✅
\(m = -9\) için: Δ = \(81 - 72 = 9 > 0\) ✅
Her iki durumda da Δ > 0 olduğu için her iki \(m\) değeri de geçerlidir.
- ➡️ Adım 4: Kökleri Bulma
Durum 1 (\(m=9\)): Kökler \(r=3\) ve \(2r=6\)'dır.
Durum 2 (\(m=-9\)): Kökler \(r=-3\) ve \(2r=-6\)'dır.
✅ Sonuç: \(m\)'nin alabileceği değerler 9 ve -9'dur. \(m=9\) için kökler 3 ve 6; \(m=-9\) için kökler -3 ve -6'dır. Her iki durumda da Δ = 9 > 0'dır.
