Dönüşüm formülleri (Toplamı çarpıma çevirme) Test 2

\(\frac{sin7x + sin3x}{cos7x + cos3x}\) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) tan2x
B) tan5x
C) cot2x
D) cot5x

Bu tür trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek için genellikle toplamı çarpıma dönüştürme formüllerini kullanırız. Verilen ifadede hem pay hem de paydada sinüs ve kosinüslerin toplamı olduğu için, bu formüller bize çok yardımcı olacaktır.

• Öncelikle, kullanacağımız toplamı çarpıma dönüştürme formüllerini hatırlayalım:

  $sinA + sinB = 2sin\left(\frac{A+B}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

  $cosA + cosB = 2cos\left(\frac{A+B}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

  Bu formüller, karmaşık görünen toplamları daha basit çarpım ifadelerine dönüştürmemizi sağlar ve sadeleştirme için zemin hazırlar.

• Şimdi bu formülleri ifademizin pay kısmına, yani $sin7x + sin3x$ kısmına uygulayalım. Burada $A = 7x$ ve $B = 3x$ olarak alacağız:

  $A+B = 7x + 3x = 10x$

  $\frac{A+B}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$

  $A-B = 7x - 3x = 4x$

  $\frac{A-B}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$

  Buna göre, pay kısmı şu şekilde olur:

  $sin7x + sin3x = 2sin(5x)cos(2x)$

• Aynı şekilde, ifademizin payda kısmına, yani $cos7x + cos3x$ kısmına da formülü uygulayalım. Yine $A = 7x$ ve $B = 3x$ olduğu için, açı değerleri aynı olacaktır:

  $\frac{A+B}{2} = 5x$

  $\frac{A-B}{2} = 2x$

  Buna göre, payda kısmı şu şekilde olur:

  $cos7x + cos3x = 2cos(5x)cos(2x)$

• Şimdi bulduğumuz bu ifadeleri orijinal kesirde yerine yazalım:

  $\frac{sin7x + sin3x}{cos7x + cos3x} = \frac{2sin(5x)cos(2x)}{2cos(5x)cos(2x)}$

• İfadeyi sadeleştirelim. Pay ve paydada ortak olan terimleri görebiliriz. Hem $2$ hem de $cos(2x)$ terimleri ortak çarpanlardır. Bu terimleri sadeleştirebiliriz (tabii ki $cos(2x) \neq 0$ olmak koşuluyla):

  $\frac{\cancel{2}sin(5x)\cancel{cos(2x)}}{\cancel{2}cos(5x)\cancel{cos(2x)}} = \frac{sin(5x)}{cos(5x)}$

• Son olarak, trigonometrideki temel özdeşliklerden biri olan $\tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$ formülünü kullanarak ifadeyi daha da sadeleştirelim. Burada $\theta = 5x$ olduğu için:

  $\frac{sin(5x)}{cos(5x)} = tan(5x)$

Böylece, ifadenin en sade şeklini $tan(5x)$ olarak bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.