Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, trigonometrik toplam-fark formüllerini kullanarak bir ifadeyi en sade haline getireceğiz. Adım adım ilerleyelim ve bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Kullanılacak Formülleri Hatırlayalım
-
Bu tür ifadelerde, pay ve paydada bulunan sinüs ve kosinüs toplamlarını çarpım haline getiren "toplam-çarpım" formüllerini kullanırız.
- $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
- $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
- Adım 2: Pay Kısmını Sadeleştirelim
-
Pay kısmındaki ifade $\sin7x + \sin3x$. Burada $A = 7x$ ve $B = 3x$ alalım.
- $\frac{A+B}{2} = \frac{7x+3x}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$
- $\frac{A-B}{2} = \frac{7x-3x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$
- Bu değerleri formülde yerine yazarsak: $\sin7x + \sin3x = 2 \sin(5x) \cos(2x)$ olur.
- Adım 3: Payda Kısmını Sadeleştirelim
-
Payda kısmındaki ifade $\cos7x + \cos3x$. Burada da $A = 7x$ ve $B = 3x$ alalım.
- $\frac{A+B}{2} = \frac{7x+3x}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$
- $\frac{A-B}{2} = \frac{7x-3x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$
- Bu değerleri formülde yerine yazarsak: $\cos7x + \cos3x = 2 \cos(5x) \cos(2x)$ olur.
- Adım 4: Sadeleştirilmiş İfadeleri Yerine Yazalım ve Gerekli İptalleri Yapalım
-
Şimdi bulduğumuz sadeleşmiş ifadeleri orijinal kesirde yerine yazalım:
- $\frac{\sin7x + \sin3x}{\cos7x + \cos3x} = \frac{2 \sin(5x) \cos(2x)}{2 \cos(5x) \cos(2x)}$
- Bu ifadede hem payda hem de paydada ortak olan terimler $2$ ve $\cos(2x)$'tir. Bu terimleri sadeleştirebiliriz (tabii ki $\cos(2x) \neq 0$ olmak koşuluyla).
- Sadeleştirme sonucunda elimizde kalan ifade: $\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}$
- Adım 5: Sonucu Tanıyalım
-
Trigonometride, bir açının sinüsünün aynı açının kosinüsüne oranı tanjantı verir. Yani $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$.
- Bizim ifademizde $\theta = 5x$ olduğu için, $\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)} = \tan(5x)$ olur.
Böylece ifadenin en sade halini $\tan(5x)$ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
