Bugün trigonometride sıkça kullandığımız bir dönüşüm formülünü uygulayarak bir ifadeyi çarpım formuna dönüştüreceğiz. Bu tür dönüşümler, daha karmaşık trigonometrik denklemleri çözmek veya ifadeleri sadeleştirmek için çok işimize yarar.
Sorumuz, $cos3x + cosx$ ifadesinin çarpım formuna dönüştürülmüş halini bulmak.
- Öncelikle, iki kosinüsün toplamını çarpıma dönüştürme formülünü hatırlayalım. Bu formül, trigonometride "toplam-fark formülleri" grubunun bir parçasıdır ve şöyledir:
- $cosA + cosB = 2cos\left(\frac{A+B}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
- Şimdi, verilen $cos3x + cosx$ ifadesindeki terimleri bu formülle eşleştirelim:
- Burada $A = 3x$ ve $B = x$ olarak alınır.
- Formüldeki $\frac{A+B}{2}$ ve $\frac{A-B}{2}$ kısımlarını adım adım hesaplayalım:
- Önce toplamın yarısını bulalım: $\frac{A+B}{2} = \frac{3x+x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$
- Şimdi de farkın yarısını bulalım: $\frac{A-B}{2} = \frac{3x-x}{2} = \frac{2x}{2} = x$
- Bulduğumuz bu $2x$ ve $x$ değerlerini toplam-çarpım formülünde yerine yazalım:
- $cos3x + cosx = 2cos(2x)cos(x)$
- Elde ettiğimiz bu çarpım formundaki ifadeyi seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $2cos2x·cosx$
- B) $2sin2x·cosx$
- C) $2cos2x·sinx$
- D) $2sin2x·sinx$
- Gördüğümüz gibi, bulduğumuz $2cos(2x)cos(x)$ ifadesi, A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
