Ters dönüşüm formülleri (Çarpımı toplama çevirme) Test 2

sin5x - sinx ifadesi aşağıdaki çarpımlardan hangisine eşittir?

A) 2cos3x·sin2x
B) 2sin3x·cos2x
C) 2cos3x·cos2x
D) 2sin3x·sin2x

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, trigonometrik ifadeleri çarpım şekline dönüştürme konusundaki bilgimizi pekiştirecek harika bir soru çözeceğiz. Bu tür sorular, trigonometrik özdeşlikleri ne kadar iyi anladığımızı gösterir ve ileri seviye matematik konuları için temel oluşturur. Hazırsanız, adım adım çözümümüze başlayalım!

• Adım 1: İfadeyi Tanıma ve Doğru Formülü Seçme

Bize verilen ifade $sin5x - sinx$ şeklindedir. Bu ifade, iki sinüs fonksiyonunun farkı olarak verilmiştir ve bizden bunu bir çarpım olarak yazmamız isteniyor. Trigonometride, toplamları veya farkları çarpımlara dönüştürmek için özel formüllerimiz vardır. $sinA - sinB$ şeklindeki bir ifade için kullanmamız gereken formül şudur:

$sinA - sinB = 2cos\left(\frac{A+B}{2}\right)sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

• Adım 2: A ve B Değerlerini Belirleme

Verilen $sin5x - sinx$ ifadesinde, $A$ ve $B$ değerlerini kolayca belirleyebiliriz:

• $A = 5x$
• $B = x$
• Adım 3: Açıların Toplam ve Fark Yarısını Hesaplama

Şimdi formülde yerine koymak için $\frac{A+B}{2}$ ve $\frac{A-B}{2}$ değerlerini hesaplayalım:

• $\frac{A+B}{2} = \frac{5x+x}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$
• $\frac{A-B}{2} = \frac{5x-x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$
• Adım 4: Formülde Yerine Koyma ve İfadeyi Çarpım Şeklinde Yazma

Hesapladığımız bu değerleri $sinA - sinB = 2cos\left(\frac{A+B}{2}\right)sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ formülünde yerine koyalım:

$sin5x - sinx = 2cos(3x)sin(2x)$

• Adım 5: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırma

Elde ettiğimiz sonuç $2cos3x \cdot sin2x$ şeklindedir. Şimdi bu sonucu verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

• A) $2cos3x \cdot sin2x$
• B) $2sin3x \cdot cos2x$
• C) $2cos3x \cdot cos2x$
• D) $2sin3x \cdot sin2x$

Gördüğümüz gibi, bulduğumuz ifade A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.