10. Sınıf Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetri Özellikleri Test 2

Bir f fonksiyonu için f(-x) = -f(x) eşitliği her x gerçel sayısı için sağlanıyorsa, bu fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisine göre simetriktir?

A) x eksenine
B) y eksenine
C) Orijine
D) y = x doğrusuna

Bu soruda, bir fonksiyonun grafiğinin hangi eksene veya noktaya göre simetrik olduğunu bulmamız isteniyor. Bize verilen temel bilgi, fonksiyonun her $x$ gerçel sayısı için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlamasıdır.

• Verilen Eşitliği Anlayalım:

  Bize verilen eşitlik $f(-x) = -f(x)$ şeklindedir. Bu eşitlik, matematikte "tek fonksiyon" olarak adlandırılan fonksiyonların temel özelliğidir. Şimdi bu tanımın grafik üzerindeki etkisini inceleyelim.

• Grafik Üzerindeki Bir Noktayı Düşünelim:

  Fonksiyonun grafiği üzerinde herhangi bir $(x, y)$ noktası olduğunu varsayalım. Bu durumda, fonksiyon tanımı gereği $y = f(x)$ olur.

• Eşitliği Uygulayalım:

  Şimdi, verilen $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini kullanarak $x$ yerine $-x$ koyduğumuzda ne olduğunu görelim:

  $f(-x) = -f(x)$

  Bizim $(x, y)$ noktamız için $y = f(x)$ olduğundan, bu ifadeyi yerine yazarsak:

  $f(-x) = -y$

  Bu ne anlama geliyor? Eğer grafikte $(x, y)$ noktası varsa, o zaman $(-x, -y)$ noktası da grafikte olmak zorundadır.

• Simetri Türlerini Karşılaştıralım:

  Şimdi bulduğumuz bu durumu farklı simetri türlerinin tanımlarıyla karşılaştıralım:

  x eksenine göre simetri: Eğer $(x, y)$ grafikteyse, $(x, -y)$ de grafikte olmalıdır. Bu durum bizim bulduğumuz $(-x, -y)$ ile uyuşmuyor.

  y eksenine göre simetri (Çift Fonksiyon): Eğer $(x, y)$ grafikteyse, $(-x, y)$ de grafikte olmalıdır. Bu durumda $f(-x) = f(x)$ eşitliği sağlanır. Bu da bizim verilen $f(-x) = -f(x)$ eşitliğimizle çelişiyor.

  Orijine göre simetri (Tek Fonksiyon): Eğer $(x, y)$ grafikteyse, $(-x, -y)$ de grafikte olmalıdır. Bu durum, bizim $f(-x) = -y$ sonucumuzla birebir örtüşmektedir.

  $y = x$ doğrusuna göre simetri: Eğer $(x, y)$ grafikteyse, $(y, x)$ de grafikte olmalıdır. Bu da bizim bulduğumuz durumla farklıdır.

• Sonuç Çıkaralım:

  Bizim bulduğumuz sonuç, eğer $(x, y)$ noktası grafikteyse, $(-x, -y)$ noktasının da grafikte olması gerektiğidir. Bu durum, tam olarak orijine göre simetri tanımına uymaktadır.

Bu nedenle, $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlayan bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Cevap C seçeneğidir.