Doğrusal Fonksiyonlarda Tanım ve Görüntü Kümesi Nasıl Belirlenir? Örnekler ve konu özeti Test 2

Bir doğrusal fonksiyonun tanım kümesi [-2, 3] kapalı aralığı ve fonksiyon f(x) = 3x - 1 şeklinde verilmiştir. Buna göre bu fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-7, 8]
B) [-7, 9]
C) [-6, 8]
D) [-6, 9]

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir doğrusal fonksiyonun tanım kümesi verildiğinde, görüntü kümesini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Doğrusal fonksiyonlar, grafikleri bir doğru şeklinde olan ve belirli özelliklere sahip fonksiyonlardır. Bu özellikleri kullanarak soruyu kolayca çözebiliriz.

• 1. Fonksiyonun Özelliklerini Anlayalım:

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = 3x - 1$ şeklindedir. Bu bir doğrusal fonksiyondur. Doğrusal fonksiyonlarda $x$'in katsayısı (eğim) fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu belirler. Eğer $x$'in katsayısı pozitifse fonksiyon artandır, negatifse azalandır.

  Burada $x$'in katsayısı $3$'tür (yani $a=3$). $3 > 0$ olduğu için, $f(x)$ fonksiyonu artan bir fonksiyondur. Artan fonksiyonlarda, tanım kümesinin en küçük değeri fonksiyonun en küçük değerini, tanım kümesinin en büyük değeri ise fonksiyonun en büyük değerini verir.

• 2. Tanım Kümesini İnceleyelim:

  Fonksiyonun tanım kümesi $[-2, 3]$ kapalı aralığı olarak verilmiştir. Bu, $x$ değerlerinin $-2$'ye eşit veya daha büyük, $3$'e eşit veya daha küçük olabileceği anlamına gelir. Yani, $x \in [-2, 3]$.

  Bu aralıktaki en küçük $x$ değeri $-2$, en büyük $x$ değeri ise $3$'tür.

• 3. Fonksiyonun Minimum Değerini Bulalım:

  Fonksiyonumuz artan olduğu için, tanım kümesindeki en küçük $x$ değeri, fonksiyonun alabileceği en küçük $f(x)$ değerini verecektir. Tanım kümesindeki en küçük $x$ değeri $-2$'dir. Bu değeri fonksiyonda yerine koyalım:

  $f(-2) = 3 \cdot (-2) - 1$

  $f(-2) = -6 - 1$

  $f(-2) = -7$

  Bu, görüntü kümesinin alt sınırıdır.

• 4. Fonksiyonun Maksimum Değerini Bulalım:

  Yine fonksiyonumuz artan olduğu için, tanım kümesindeki en büyük $x$ değeri, fonksiyonun alabileceği en büyük $f(x)$ değerini verecektir. Tanım kümesindeki en büyük $x$ değeri $3$'tür. Bu değeri fonksiyonda yerine koyalım:

  $f(3) = 3 \cdot (3) - 1$

  $f(3) = 9 - 1$

  $f(3) = 8$

  Bu, görüntü kümesinin üst sınırıdır.

• 5. Görüntü Kümesini Belirleyelim:

  Fonksiyonun alabileceği en küçük değer $-7$ ve en büyük değer $8$ olduğuna göre, fonksiyonun görüntü kümesi bu iki değer arasındaki tüm sayıları kapsayan kapalı bir aralık olacaktır. Çünkü tanım kümesi kapalı bir aralıktır ve doğrusal fonksiyonlar bu aralıkta kesintisizdir.

  Dolayısıyla, görüntü kümesi $[-7, 8]$'dir.

Cevap A seçeneğidir.