Bir telefon şirketinin aylık 50 TL sabit ücreti ve dakika başına 0.25 TL konuşma ücreti vardır. Aylık toplam ücreti veren fonksiyon f(x) = 0.25x + 50 şeklinde ifade ediliyor. Bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Tanım kümesi: R, Görüntü kümesi: R
B) Tanım kümesi: [0, ∞), Görüntü kümesi: [50, ∞)
C) Tanım kümesi: Z, Görüntü kümesi: Z
D) Tanım kümesi: N, Görüntü kümesi: [50, ∞)
Bu soruda, bir telefon şirketinin aylık ücretlendirme modelini temsil eden bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini bulmamız isteniyor. Fonksiyonumuz $f(x) = 0.25x + 50$ şeklinde ifade edilmiştir. Burada $x$ konuşulan dakika sayısını, $f(x)$ ise aylık toplam ücreti temsil etmektedir.
Şimdi bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini adım adım inceleyelim:
- Tanım Kümesi (Domain) Nedir?
- Tanım kümesi, fonksiyonda yerine yazabileceğimiz $x$ değerlerinin kümesidir. Yani, bu problemde "konuşulan dakika sayısı" olan $x$'in alabileceği tüm gerçekçi değerlerdir.
- Konuşulan dakika sayısı ($x$) negatif olamaz. Örneğin, $-10$ dakika konuşmak gibi bir durum gerçek hayatta mümkün değildir. Bu yüzden $x \ge 0$ olmalıdır.
- Konuşulan dakika sayısı $0$ olabilir (hiç konuşulmayabilir). Bu durumda sadece sabit ücret ödenir.
- Konuşulan dakika sayısı kesirli olabilir (örneğin, $1.5$ dakika). Telefon şirketleri genellikle saniye bazında veya dakika bazında faturalandırsa da, matematiksel bir modelde konuşma süresi genellikle sürekli bir değişken olarak kabul edilir.
- Bu nedenle, $x$ değeri $0$ veya $0$'dan büyük herhangi bir reel sayı olabilir. Matematiksel olarak bu durumu $[0, \infty)$ aralığı ile ifade ederiz.
- Görüntü Kümesi (Range) Nedir?
- Görüntü kümesi, fonksiyonda tanım kümesindeki $x$ değerlerini yerine yazdığımızda elde ettiğimiz $f(x)$ değerlerinin kümesidir. Yani, bu problemde "aylık toplam ücret"in alabileceği tüm değerlerdir.
- Tanım kümesindeki en küçük $x$ değeri $0$'dır. $x=0$ için fonksiyonun değeri: $f(0) = 0.25(0) + 50 = 50$ TL olur. Bu, ödenebilecek en düşük ücrettir (sadece sabit ücret).
- $x$ değeri arttıkça, $0.25x$ ifadesi de artar ve dolayısıyla $f(x)$ değeri de artar. Çünkü $0.25$ pozitif bir sayıdır.
- $x$ değeri sonsuza doğru gittikçe, $f(x)$ değeri de sonsuza doğru gider.
- Bu nedenle, aylık toplam ücret ($f(x)$) $50$ TL veya $50$ TL'den büyük herhangi bir reel sayı olabilir. Matematiksel olarak bu durumu $[50, \infty)$ aralığı ile ifade ederiz.
Yukarıdaki analizlerimize göre:
- Tanım kümesi: $[0, \infty)$
- Görüntü kümesi: $[50, \infty)$
Seçenekleri incelediğimizde, bu durum B seçeneğinde doğru olarak verilmiştir.
Cevap B seçeneğidir.
