$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$ limitinin çözümünde aşağıdaki çarpanlara ayırma yöntemlerinden hangisi kullanılır?
A) Tam kare farkı
B) İki kare farkı
C) Küp açılımı
D) Ortak çarpan parantezine alma
Sevgili öğrenciler, bu limit sorusunu çözmek için öncelikle ifadeyi basitleştirmemiz gerekiyor. Çünkü $x=1$ değerini doğrudan yerine koyduğumuzda $\frac{1^2-1}{1-1} = \frac{0}{0}$ belirsizliğini elde ederiz. Bu belirsizliği gidermek için pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayırmamız şart!
- Öncelikle limit ifadesinin pay kısmına odaklanalım: $x^2-1$.
- Bu ifadeyi daha yakından incelediğimizde, $x^2-1$ ifadesinin aslında $x^2-1^2$ şeklinde yazılabileceğini görürüz.
- Şimdi bu formülü hatırlayalım: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Bu formül, iki kare farkı olarak bilinir.
- Bizim durumumuzda $a=x$ ve $b=1$ olduğu için, $x^2-1^2$ ifadesini $(x-1)(x+1)$ şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
- Şimdi bu çarpanlara ayrılmış ifadeyi limitin içine geri yazalım: $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$.
- $x \to 1$ demek, $x$'in 1'e çok yakın ama 1'den farklı olduğu anlamına gelir. Bu yüzden $(x-1)$ ifadesi sıfır değildir ve pay ile paydadaki $(x-1)$ terimlerini sadeleştirebiliriz.
- İfade sadeleştiğinde geriye $\lim_{x \to 1} (x+1)$ kalır.
- Şimdi $x=1$ değerini yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz: $1+1=2$.
- Gördüğünüz gibi, bu sorunun çözümünde kilit nokta, pay kısmındaki $x^2-1$ ifadesini iki kare farkı yöntemini kullanarak çarpanlarına ayırmak oldu.
Cevap B seçeneğidir.
