Limit nedir Test 2

Bir mobil uygulama geliştiricisi, uygulamasının günlük aktif kullanıcı sayısının \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) fonksiyonu ile değiştiğini gözlemlemiştir. Burada \( x \) gün sayısını temsil etmektedir.
2. gündeki kullanıcı sayısını tahmin etmek isteyen geliştirici hangi limiti hesaplamalıdır?

A) \( \lim_{x \to 0} f(x) \)
B) \( \lim_{x \to 1} f(x) \)
C) \( \lim_{x \to 2} f(x) \)
D) \( \lim_{x \to 4} f(x) \)

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir mobil uygulamanın günlük aktif kullanıcı sayısını veren bir fonksiyon ve belirli bir gündeki kullanıcı sayısını tahmin etmek için hangi limitin hesaplanması gerektiği soruluyor. Adım adım inceleyelim:

• Fonksiyonu Anlayalım:

  Bize verilen fonksiyon $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $ şeklindedir. Burada $ x $ gün sayısını, $ f(x) $ ise $ x $. gündeki aktif kullanıcı sayısını temsil etmektedir.

• 2. Gündeki Durumu İnceleyelim:

  Geliştirici, 2. gündeki kullanıcı sayısını tahmin etmek istiyor. Yani $ x = 2 $ olduğunda $ f(x) $ değerini bulmaya çalışıyoruz. Fonksiyonda $ x = 2 $ değerini doğrudan yerine koymaya çalışırsak ne olur bakalım:

  $ f(2) = \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0} $

  Matematikte $ \frac{0}{0} $ belirsiz bir ifadedir. Bu durum, fonksiyonun $ x = 2 $ noktasında tanımlı olmadığını gösterir. Yani, 2. günde fonksiyonun doğrudan bir değeri yoktur.

• Limit Kavramının Önemi:

  Bir fonksiyon belirli bir noktada tanımlı olmasa bile, o noktaya çok yaklaştıkça hangi değere yaklaştığını (yani "eğilimini") bulmak için limit kavramını kullanırız. Geliştirici de 2. gündeki kullanıcı sayısını "tahmin etmek" istediği için, aslında $ x $ değeri 2'ye yaklaşırken fonksiyonun hangi değere yaklaştığını bulmaya çalışmaktadır.

• Doğru Limiti Belirleme:

  Soruda 2. gündeki kullanıcı sayısını tahmin etmek istendiği için, $ x $ değerinin 2'ye yaklaşırken fonksiyonun limitini hesaplamamız gerekir. Bu da matematiksel olarak $ \lim_{x \to 2} f(x) $ şeklinde ifade edilir.

• Seçenekleri Değerlendirme:
  • A) $ \lim_{x \to 0} f(x) $: Bu, 0. gündeki kullanıcı sayısını tahmin etmek için kullanılır.
  • B) $ \lim_{x \to 1} f(x) $: Bu, 1. gündeki kullanıcı sayısını tahmin etmek için kullanılır.
  • C) $ \lim_{x \to 2} f(x) $: Bu, 2. gündeki kullanıcı sayısını tahmin etmek için kullanılır ve bizim aradığımız budur.
  • D) $ \lim_{x \to 4} f(x) $: Bu, 4. gündeki kullanıcı sayısını tahmin etmek için kullanılır.
• Fonksiyonu Sadeleştirerek Limiti Hesaplama (Ek Bilgi):

  İsterseniz bu limiti nasıl hesaplayacağımızı da görelim:

  Fonksiyonumuz $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $ idi. Pay kısmındaki $ x^2 - 4 $ ifadesi iki kare farkı özdeşliğinden $ (x - 2)(x + 2) $ olarak yazılabilir.

  Yani, $ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} $

  $ x \neq 2 $ olduğu sürece, pay ve paydadaki $ (x - 2) $ terimlerini sadeleştirebiliriz:

  $ f(x) = x + 2 $, ($ x \neq 2 $ için)

  Şimdi $ x $ 2'ye yaklaşırken bu sadeleşmiş ifadenin limitini alabiliriz:

  $ \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 $

  Bu, 2. gündeki kullanıcı sayısının 4 olarak tahmin edildiği anlamına gelir.

Bu durumda, 2. gündeki kullanıcı sayısını tahmin etmek için hesaplanması gereken limit $ \lim_{x \to 2} f(x) $ olacaktır.

Cevap C seçeneğidir.