Bir fizikçi, hareket halindeki bir cismin anlık hızını hesaplamak istemektedir. Konum-zaman fonksiyonu \( s(t) = t^2 + 3t + 2 \) olarak verilen bu cisim için \( t = 2 \) anındaki anlık hız nasıl hesaplanır?
A) \( s(2) \) değeri bulunarak
B) \( \lim_{h \to 0} \frac{s(2+h) - s(2)}{h} \) limiti hesaplanarak
C) \( s'(0) \) türevi bulunarak
D) \( \lim_{t \to \infty} s(t) \) limiti hesaplanarak
Bir cismin hareketini incelediğimizde, belirli bir andaki hızını bulmak, o anki değişim oranını anlamak demektir. Bu, matematikte türev kavramıyla yakından ilişkilidir.
- Anlık Hız Nedir? Anlık hız, bir cismin çok kısa bir zaman aralığındaki yer değiştirme miktarının, o zaman aralığına oranıdır. Yani, zaman aralığı sıfıra yaklaşırken ortalama hızın limit değeridir.
- Konum-Zaman Fonksiyonu ve Hız İlişkisi: Bir cismin konumunu zamanın bir fonksiyonu olarak veren $s(t)$ fonksiyonu varsa, bu cismin anlık hızı, konum fonksiyonunun zamana göre birinci türevi ($s'(t)$) ile bulunur.
- Türevin Limit Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi, limit tanımına göre şu şekilde ifade edilir: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. Burada $h$, zaman veya konumdaki çok küçük bir değişimi temsil eder.
- Soruya Uygulama: Sorumuzda konum-zaman fonksiyonu $s(t) = t^2 + 3t + 2$ olarak verilmiş ve $t=2$ anındaki anlık hız istenmektedir. Bu durumda, $t=2$ anındaki anlık hız, $s(t)$ fonksiyonunun $t=2$ noktasındaki türevi olan $s'(2)$'ye eşittir. Türevin limit tanımını kullanarak bu ifadeyi yazarsak: $s'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{s(2+h) - s(2)}{h}$ olur.
- Seçeneklerin İncelenmesi:
- A) $s(2)$ değeri bulunarak: Bu işlem, cismin $t=2$ anındaki konumunu verir, hızını değil.
- B) $\lim_{h \to 0} \frac{s(2+h) - s(2)}{h}$ limiti hesaplanarak: Bu ifade, tam olarak $s(t)$ fonksiyonunun $t=2$ noktasındaki türevinin limit tanımıdır. Türev de anlık hızı temsil eder. Dolayısıyla bu seçenek doğrudur.
- C) $s'(0)$ türevi bulunarak: Bu işlem, cismin $t=0$ anındaki anlık hızını verir, $t=2$ anındaki hızını değil.
- D) $\lim_{t \to \infty} s(t)$ limiti hesaplanarak: Bu işlem, cismin çok uzun bir zaman sonraki (sonsuzdaki) konumunu verir, $t=2$ anındaki anlık hızını değil.
Bu açıklamalar ışığında, $t=2$ anındaki anlık hızı bulmak için konum fonksiyonunun $t=2$ noktasındaki türevinin limit tanımını kullanmamız gerekir.
Cevap B seçeneğidir.
