Sevgili öğrenciler, bu soruda bir mimarın çatı modellemesinde kullandığı fonksiyonun belirli bir noktadaki limitini bulmamız isteniyor. Limit kavramı, bir fonksiyonun belirli bir noktaya yaklaştıkça hangi değere yaklaştığını anlamamızı sağlar. Şimdi adım adım bu limiti nasıl bulacağımıza bakalım:
- Adım 1: Fonksiyonu ve Limit Noktasını Belirleme
- Bize verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ ve limitini bulmamız istenen nokta $x = 3$. Yani $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ ifadesinin değerini bulacağız.
- Adım 2: Doğrudan Yerine Koyma Denemesi
- Öncelikle $x = 3$ değerini fonksiyonda yerine koymayı deneyelim:
- $f(3) = \frac{3^2 - 9}{3 - 3} = \frac{9 - 9}{0} = \frac{0}{0}$.
- Bu sonuç, matematikte "belirsizlik" olarak adlandırılır. $\frac{0}{0}$ belirsizliği, limitin var olabileceğini ancak fonksiyonu basitleştirmemiz gerektiğini gösterir. Bu durumda, fonksiyonun pay ve paydasında ortak çarpanlar ararız.
- Adım 3: Fonksiyonu Sadeleştirme
- Pay kısmındaki $x^2 - 9$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğidir. Hatırlayalım: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
- Burada $a = x$ ve $b = 3$ olduğundan, $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
- Şimdi fonksiyonumuzu bu şekilde yeniden yazalım:
- $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$.
- Adım 4: Ortak Çarpanları Sadeleştirme
- Limit alırken $x$ değeri $3$'e çok yaklaşır ama asla $3$ olmaz. Bu yüzden $x - 3 \neq 0$ diyebiliriz. Bu durumda pay ve paydadaki $(x - 3)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
- $f(x) = x + 3$ (Bu sadeleştirme $x \neq 3$ için geçerlidir).
- Adım 5: Sadeleşmiş Fonksiyonun Limitini Bulma
- Artık sadeleşmiş fonksiyonumuz $f(x) = x + 3$ olduğuna göre, $x = 3$ noktasındaki limitini kolayca bulabiliriz. Doğrudan yerine koyma yöntemini kullanabiliriz:
- $\lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$.
- Bu, fonksiyonun $x = 3$ noktasına yaklaştıkça $6$ değerine yaklaştığı anlamına gelir.
Cevap C seçeneğidir.
