Birim çember üzerinde \( \theta \) açısı için \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \) olduğuna göre, \( \cos(\theta) \) değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \( \frac{4}{5} \)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Trigonometri ve birim çember konularını pekiştirmek için harika bir fırsat.
Öncelikle, birim çemberin temel özelliklerini hatırlayalım. Birim çember üzerinde bir $ \theta $ açısı için, açının bitim noktasının koordinatları $ (x, y) $ ise, bu koordinatlar $ (\cos(\theta), \sin(\theta)) $ olarak tanımlanır. Yani, $ x = \cos(\theta) $ ve $ y = \sin(\theta) $'dır.
Birim çemberin denklemi $ x^2 + y^2 = 1 $ olduğundan, trigonometrideki en temel özdeşliklerden biri olan $ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $ bağıntısı ortaya çıkar. Bu özdeşlik, herhangi bir $ \theta $ açısı için daima geçerlidir ve bu soruyu çözmek için anahtarımız olacaktır.
Soruda bize $ \sin(\theta) = \frac{3}{5} $ değeri verilmiş. Bu değeri temel trigonometrik özdeşlikte yerine yazalım:
$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(\theta) = 1 $
$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 $ ifadesini hesaplayalım. Payın karesini ve paydanın karesini alarak buluruz:
$ \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25} $
Şimdi bu değeri denklemimize geri yazalım:
$ \frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1 $
$ \cos^2(\theta) $ değerini yalnız bırakmak için $ \frac{9}{25} $ ifadesini denklemin sağ tarafına atalım. İşareti değişecektir:
$ \cos^2(\theta) = 1 - \frac{9}{25} $
Sağ taraftaki çıkarma işlemini yapabilmek için $ 1 $ sayısını $ \frac{25}{25} $ olarak yazalım:
$ \cos^2(\theta) = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} $
$ \cos^2(\theta) = \frac{16}{25} $
Şimdi $ \cos(\theta) $ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız. Karekök alırken hem pozitif hem de negatif değerleri göz önünde bulundurmayı unutmayın, çünkü bir sayının karesi pozitifse, o sayı hem pozitif hem de negatif olabilir:
$ \cos(\theta) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} $
Karekök alma işlemini tamamlayalım:
$ \cos(\theta) = \pm\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \pm\frac{4}{5} $
Bu durumda, $ \cos(\theta) $ değeri $ \frac{4}{5} $ veya $ -\frac{4}{5} $ olabilir. Soruda bize "aşağıdakilerden hangisi olabilir?" diye sorulduğu için, seçeneklerde bu değerlerden hangisinin olduğunu kontrol etmeliyiz.
Seçeneklere baktığımızda, A seçeneğinde $ \frac{4}{5} $ değeri bulunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
