Köklü sayılarda sıralama Test 2

\( \sqrt{75} - \sqrt{27} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) \( \sqrt{12} \)
B) \( 2\sqrt{3} \)
C) \( 3\sqrt{2} \)
D) \( \sqrt{48} \)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, köklü ifadelerle çıkarma işlemi yapacağız. Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için kök içindeki sayıların aynı olması gerekir. Eğer aynı değillerse, öncelikle köklü ifadeleri sadeleştirmemiz gerekir. Hadi adım adım çözelim:

• Adım 1: Köklü İfadeleri Sadeleştirme Prensibini Anlayalım

  Bir köklü ifadeyi sadeleştirmek için, kök içindeki sayının çarpanlarını buluruz. Bu çarpanlardan biri tam kare sayı ise, o sayıyı kök dışına çıkarabiliriz. Örneğin, $ \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} $ şeklinde yazabiliriz. Bu sayede kök içindeki sayıyı mümkün olan en küçük tam sayıya indirgemiş oluruz.

• Adım 2: $ \sqrt{75} $ İfadesini Sadeleştirelim

  $75$ sayısının çarpanlarını düşünelim. $75 = 25 \times 3$ olduğunu biliyoruz. Burada $25$ bir tam kare sayıdır ($5^2 = 25$).

  Bu durumda, $ \sqrt{75} $ ifadesini $ \sqrt{25 \times 3} $ şeklinde yazabiliriz.

  Kök alma özelliğini kullanarak, $ \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} $ olarak ayırabiliriz.

  $ \sqrt{25} $ değeri $5$'e eşittir.

  Sonuç olarak, $ \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $ olur.

• Adım 3: $ \sqrt{27} $ İfadesini Sadeleştirelim

  Şimdi de $27$ sayısının çarpanlarını düşünelim. $27 = 9 \times 3$ olduğunu biliyoruz. Burada $9$ bir tam kare sayıdır ($3^2 = 9$).

  Bu durumda, $ \sqrt{27} $ ifadesini $ \sqrt{9 \times 3} $ şeklinde yazabiliriz.

  Kök alma özelliğini kullanarak, $ \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} $ olarak ayırabiliriz.

  $ \sqrt{9} $ değeri $3$'e eşittir.

  Sonuç olarak, $ \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $ olur.

• Adım 4: Sadeleştirilmiş İfadeleri Kullanarak İşlemi Yapalım

  Başlangıçtaki işlemimiz $ \sqrt{75} - \sqrt{27} $ idi.

  Sadeleştirdiğimiz ifadeleri yerine yazalım: $ 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} $.

  Köklü ifadelerde çıkarma işlemi yaparken, kök içindeki sayılar aynı ise (burada ikisi de $ \sqrt{3} $), katsayıları çıkarabiliriz.

  Yani, $ (5 - 3)\sqrt{3} $ şeklinde yazabiliriz.

  $5 - 3 = 2$ olduğu için, işlemin sonucu $ 2\sqrt{3} $ olur.

• Adım 5: Seçenekleri Kontrol Edelim

  Bulduğumuz sonuç $ 2\sqrt{3} $. Şimdi seçeneklere bakalım:

  • A) $ \sqrt{12} $: Bu ifadeyi sadeleştirirsek $ \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ olur.
  • B) $ 2\sqrt{3} $: Bu ifade doğrudan bizim sonucumuzdur ve en sade halidir.
  • C) $ 3\sqrt{2} $: Bu ifade bizim sonucumuzdan farklıdır.
  • D) $ \sqrt{48} $: Bu ifadeyi sadeleştirirsek $ \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3} $ olur.

  Gördüğümüz gibi, hem A seçeneği hem de B seçeneği matematiksel olarak $ 2\sqrt{3} $ değerine eşittir. Ancak, matematiksel ifadelerde genellikle en sade hali tercih edilir ve B seçeneği zaten en sade halidir. Bu nedenle, doğru cevap B seçeneğidir.

Cevap B seçeneğidir.