Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, analitik düzlemde belirli özelliklere sahip bir doğrunun eğimini bulmamız isteniyor. Bir doğrunun eğimi, o doğrunun x ekseniyle yaptığı açının tanjantı veya doğrunun denklemi üzerinden bulunabilir. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim.
- 1. Adım: Eğim Kavramını Hatırlayalım
- Bir doğrunun eğimi ($m$), o doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının ($\theta$) tanjantına eşittir. Yani $m = \tan(\theta)$.
- Ayrıca, denklemi $y = ax + b$ şeklinde verilen bir doğrunun eğimi $a$ katsayısıdır.
- İki doğru birbirine dik ise, eğimleri çarpımı $-1$'dir. Yani $m_1 \cdot m_2 = -1$.
- 2. Adım: Birinci Koşulu İnceleyelim - "x ekseni ile 45° lik açı yapan"
- Aradığımız doğrunun x ekseniyle $45^\circ$ lik açı yaptığını biliyoruz. Bu durumda, doğrunun eğimi $\tan(45^\circ)$ olacaktır.
- $\tan(45^\circ) = 1$.
- Ancak, bir doğru x ekseniyle $45^\circ$ lik açı yaparken, pozitif yönde $45^\circ$ veya $135^\circ$ lik açı yapabilir. Eğer açı $135^\circ$ olsaydı, eğim $\tan(135^\circ) = -1$ olurdu.
- Yani, bu koşula göre doğrunun eğimi $1$ veya $-1$ olabilir.
- 3. Adım: İkinci Koşulu İnceleyelim - "y = -3x + 1 doğrusuna dik olan"
- Verilen doğru $y = -3x + 1$ şeklindedir. Bu doğrunun eğimi, $x$'in katsayısı olan $m_{verilen} = -3$'tür.
- Aradığımız doğru, bu doğruya diktir. İki doğru dik olduğunda, eğimlerinin çarpımı $-1$ olmalıdır.
- Aradığımız doğrunun eğimine $m_{istenen}$ dersek: $m_{istenen} \cdot m_{verilen} = -1$.
- $m_{istenen} \cdot (-3) = -1$.
- Buradan $m_{istenen} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$ bulunur.
- 4. Adım: Koşulları Birleştirelim ve Sonuca Ulaşalım
- Soruda, aradığımız doğrunun hem x ekseniyle $45^\circ$ lik açı yapması hem de $y = -3x + 1$ doğrusuna dik olması isteniyor.
- Birinci koşuldan eğimin $1$ veya $-1$ olabileceğini bulduk.
- İkinci koşuldan ise eğimin $\frac{1}{3}$ olması gerektiğini bulduk.
- Gördüğümüz gibi, her iki koşulu aynı anda sağlayan bir eğim değeri bulunmamaktadır. Bu tür durumlarda, özellikle çoktan seçmeli sorularda, genellikle sorunun ana amacının seçeneklerdeki doğru cevaba götüren koşul olduğu varsayılır.
- Seçeneklere baktığımızda, ikinci koşuldan bulduğumuz eğim değeri olan $\frac{1}{3}$'ün (C seçeneği) seçenekler arasında yer aldığını görüyoruz. Bu da sorunun esasen bu diklik koşulunu test etmeyi amaçladığını düşündürmektedir.
- Dolayısıyla, $y = -3x + 1$ doğrusuna dik olan doğrunun eğimi $\frac{1}{3}$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
