9. Sınıf Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi Test 1

f: Z → Z, f(x) = |x| + 1 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {1, 2, 3, ...}
B) {0, 1, 2, ...}
C) Z
D) [1, ∞)

Bir fonksiyonun görüntü kümesi, tanım kümesindeki her elemanın fonksiyon altında aldığı değerlerin oluşturduğu kümedir. Yani, $f(x)$'in alabileceği tüm değerleri bulmamız gerekiyor.

• Fonksiyonu Anlayalım:

  Verilen fonksiyon $f: Z \rightarrow Z$, $f(x) = |x| + 1$ şeklindedir. Burada tanım kümesi $Z$ (tam sayılar kümesi) olduğundan, $x$ yerine ..., $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$ gibi tam sayıları yazabiliriz.

  $|x|$ ifadesi mutlak değer fonksiyonudur. Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif veya sıfırdır. Şöyle ki:

  - Eğer $x > 0$ ise, $|x| = x$ olur. (Örnek: $|3|=3$)

  - Eğer $x = 0$ ise, $|x| = 0$ olur.

  - Eğer $x < 0$ ise, $|x| = -x$ olur. (Örnek: $|-3|=-(-3)=3$)

  Fonksiyon, mutlak değerin sonucuna $1$ ekler.

• $x$ Değerleri İçin $f(x)$'i Hesaplayalım:

  $x$ bir tam sayı olduğundan, farklı durumları inceleyerek $f(x)$'in alabileceği değerleri bulalım:

  - Durum 1: $x = 0$

  $f(0) = |0| + 1 = 0 + 1 = 1$.

  - Durum 2: $x$ pozitif bir tam sayı ($x \in \{1, 2, 3, ...\}$)

  Bu durumda $|x| = x$ olur. Örneğin:

  $f(1) = |1| + 1 = 1 + 1 = 2$

  $f(2) = |2| + 1 = 2 + 1 = 3$

  $f(3) = |3| + 1 = 3 + 1 = 4$

  Genel olarak, $x$ pozitif bir tam sayı iken $f(x) = x + 1$ değerini alır. Bu değerler $\{2, 3, 4, ...\}$ kümesini oluşturur.

  - Durum 3: $x$ negatif bir tam sayı ($x \in \{-1, -2, -3, ...\}$)

  Bu durumda $|x| = -x$ olur. Örneğin:

  $f(-1) = |-1| + 1 = 1 + 1 = 2$

  $f(-2) = |-2| + 1 = 2 + 1 = 3$

  $f(-3) = |-3| + 1 = 3 + 1 = 4$

  Genel olarak, $x$ negatif bir tam sayı iken $f(x) = -x + 1$ değerini alır. $-x$ pozitif bir tam sayı olacağından, bu değerler de $\{2, 3, 4, ...\}$ kümesini oluşturur.

• Görüntü Kümesini Belirleyelim:

  Yukarıdaki tüm durumları birleştirdiğimizde, $f(x)$'in alabileceği en küçük değer $f(0) = 1$ olarak bulunur.

  Diğer tüm tam sayılar için ($x \neq 0$), $|x|$ değeri $1, 2, 3, ...$ gibi pozitif tam sayılar olacaktır. Dolayısıyla, $|x| + 1$ değeri $1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ...$ gibi değerleri alacaktır.

  Bu durumda, fonksiyonun görüntü kümesi tüm bu değerlerin birleşimi olacaktır: $\{1\} \cup \{2, 3, 4, ...\} = \{1, 2, 3, ...\}$.

• Seçenekleri İnceleyelim:

  Bulduğumuz görüntü kümesini seçeneklerle karşılaştıralım:

  A) $\{1, 2, 3, ...\}$: Bu, bulduğumuz görüntü kümesi ile tamamen aynıdır.

  B) $\{0, 1, 2, ...\}$: Fonksiyonun değeri asla $0$ olamaz, çünkü $|x| \ge 0$ olduğundan $|x|+1 \ge 1$ olacaktır.

  C) $Z$: Fonksiyonun değeri asla negatif bir tam sayı olamaz, çünkü $|x|+1$ her zaman pozitiftir.

  D) $[1, \infty)$: Bu küme $1$ ve $1$'den büyük tüm gerçel sayıları içerir. Ancak bizim görüntü kümemiz sadece tam sayılardan oluşur (örneğin $1.5$ veya $2.7$ gibi değerler alamaz).

Cevap A seçeneğidir.