Delta > 0 (Deltadan büyük sıfır) ise kökler nedir Test 2

Bir matematik öğretmeni tahtaya \(x^2 + px + 8 = 0\) denklemini yazıyor ve "Bu denklemin iki farklı reel kökü vardır" diyor. Buna göre p'nin değer aralığı nedir?

A) \(-∞ < p < ∞\)
B) \(p > 4\sqrt{2}\) veya \(p < -4\sqrt{2}\)
C) \(-4\sqrt{2} < p < 4\sqrt{2}\)
D) \(p = 4\sqrt{2}\) veya \(p = -4\sqrt{2}\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir kuadratik denklemin köklerinin doğası hakkında bilgi verilmiş ve bizden bir katsayının değer aralığını bulmamız isteniyor. Kuadratik denklemlerin köklerinin reel olup olmadığını veya kaç tane olduğunu anlamak için diskriminant (delta) kavramını kullanırız. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:

• 1. Denklemi Tanımlama ve Katsayıları Belirleme:

  Verilen denklem $x^2 + px + 8 = 0$ şeklindedir. Genel bir kuadratik denklem $ax^2 + bx + c = 0$ formatındadır.

  Denklemimizi bu genel formla karşılaştırdığımızda katsayıları şu şekilde belirleriz:

  • $a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 1'dir)
  • $b = p$ (çünkü $x$'in katsayısı $p$'dir)
  • $c = 8$ (sabit terim 8'dir)
• 2. İki Farklı Reel Kök Şartını Uygulama:

  Soruda denklemin "iki farklı reel kökü" olduğu belirtilmiştir. Bir kuadratik denklemin iki farklı reel kökü olabilmesi için diskriminantının ($\Delta$) sıfırdan büyük olması gerekir.

  Diskriminant formülü şöyledir: $\Delta = b^2 - 4ac$

  Bu durumda, aradığımız şart: $\Delta > 0$ olmalıdır.

• 3. Diskriminantı Hesaplama ve Eşitsizliği Kurma:

  Şimdi belirlediğimiz $a$, $b$, $c$ değerlerini diskriminant formülüne yerleştirelim:

  • $\Delta = (p)^2 - 4(1)(8)$
  • $\Delta = p^2 - 32$

  İki farklı reel kök şartını uygulayarak eşitsizliği oluşturalım:

  • $p^2 - 32 > 0$
• 4. Eşitsizliği Çözme:

  Şimdi $p^2 - 32 > 0$ eşitsizliğini $p$ için çözmeliyiz:

  • $p^2 > 32$

  Bu tür bir eşitsizliği çözmek için her iki tarafın karekökünü alabiliriz. Ancak karekök alırken mutlak değer kurallarına dikkat etmeliyiz:

  • $\sqrt{p^2} > \sqrt{32}$
  • $|p| > \sqrt{16 \times 2}$
  • $|p| > 4\sqrt{2}$

  Mutlak değer eşitsizliği $|x| > k$ (burada $k > 0$) ise, çözüm $x > k$ veya $x < -k$ şeklindedir.

  Bu kuralı uyguladığımızda, $p$ için değer aralığı şu şekilde bulunur:

  • $p > 4\sqrt{2}$ veya $p < -4\sqrt{2}$
• 5. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Bulduğumuz $p > 4\sqrt{2}$ veya $p < -4\sqrt{2}$ değer aralığı, seçenekler arasında B seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.

Cevap B seçeneğidir.