Çarpanlara ayırarak denklem çözme Test 1

\(2x^2 - 8x = 0\) denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

A) 0
B) 2
C) 4
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamını nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz, $2x^2 - 8x = 0$ denkleminin köklerinin toplamını bulmak üzerine.

İkinci dereceden denklemlerin köklerinin toplamını bulmak için iki temel yöntem kullanabiliriz: ya denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri tek tek bulup toplarız ya da Vieta Formülleri'ni (Kökler ve Katsayılar Arasındaki İlişkiler) kullanırız. Her iki yöntemi de açıklayalım.

• Yöntem 1: Denklemi Çarpanlarına Ayırarak Kökleri Bulma

• Denklemimiz $2x^2 - 8x = 0$.

  Bu denklemde her iki terimde de ortak çarpanlar olduğunu görüyoruz. Hem $2x^2$ hem de $-8x$ terimi $2x$ ile bölünebilir.

  Denklemi $2x$ parantezine alalım:

  $2x(x - 4) = 0$

  Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Bu durumda iki olası durum vardır:

  • Birinci durum: $2x = 0$
  • Bu durumda, denklemin birinci kökü $x_1 = 0$ olur.
  • İkinci durum: $x - 4 = 0$
  • Bu durumda, denklemin ikinci kökü $x_2 = 4$ olur.

  Şimdi bulduğumuz kökleri toplayalım:

  $x_1 + x_2 = 0 + 4 = 4$

• Yöntem 2: Vieta Formülleri'ni Kullanma (Kökler ve Katsayılar Arasındaki İlişkiler)

• İkinci dereceden bir denklemin genel formu $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindedir.

  Bu denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, köklerin toplamı için bir formülümüz vardır:

  $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

  Şimdi kendi denklemimize bakalım: $2x^2 - 8x = 0$.

  Bu denklemi genel form ile karşılaştıralım:

  • $a = 2$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 2'dir)
  • $b = -8$ (çünkü $x$'in katsayısı -8'dir)
  • $c = 0$ (çünkü sabit terim yoktur, yani 0'dır)

  Şimdi bu değerleri kökler toplamı formülünde yerine koyalım:

  $x_1 + x_2 = -\frac{(-8)}{2}$

  $x_1 + x_2 = \frac{8}{2}$

  $x_1 + x_2 = 4$

Her iki yöntemle de denklemin köklerinin toplamını $4$ olarak bulduk.

Cevap C seçeneğidir.