Doğrunun noktaya veya doğruya göre simetriği Test 1

D(1,-2) noktasının 2x - y + 1 = 0 doğrusuna göre simetriği olan nokta aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-3,0)
B) (3,-4)
C) (-1,-4)
D) (1,4)

Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini bulmak için aşağıdaki adımları takip edebiliriz. Bu işlemde, simetrik nokta ile orijinal nokta arasındaki doğru parçasının, verilen doğruya dik olduğunu ve bu doğru parçasının orta noktasının verilen doğru üzerinde bulunduğunu kullanacağız.

• Adım 1: Verilen Doğrunun Eğimini Bulma

• Verilen doğru denklemi $L: 2x - y + 1 = 0$.

  Bu denklemi $y = mx + n$ formatına getirelim: $y = 2x + 1$.

  Bu durumda, verilen doğrunun eğimi $m_L = 2$'dir.

• Adım 2: Simetrik Noktayı Orijinal Noktaya Bağlayan Doğrunun Eğimini Bulma

• Aradığımız simetrik nokta $D'(x', y')$ olsun. $D(1,-2)$ noktası ile $D'(x', y')$ noktasını birleştiren doğru parçası, $L$ doğrusuna diktir.

  İki doğru dik ise, eğimlerinin çarpımı $-1$'dir. Yani $m_{DD'} \cdot m_L = -1$.

  $m_{DD'} \cdot 2 = -1 \Rightarrow m_{DD'} = -\frac{1}{2}$.

• Adım 3: $D D'$ Doğrusunun Denklemini Bulma

• $D(1,-2)$ noktasından geçen ve eğimi $m_{DD'} = -\frac{1}{2}$ olan doğrunun denklemini yazalım:

  $y - y_1 = m(x - x_1)$

  $y - (-2) = -\frac{1}{2}(x - 1)$

  $y + 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

  Denklemi daha düzenli hale getirmek için her tarafı $2$ ile çarpalım:

  $2(y + 2) = 2(-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})$

  $2y + 4 = -x + 1$

  $x + 2y + 3 = 0$. Bu, $D D'$ doğrusunun denklemidir.

• Adım 4: Kesişim Noktasını (Orta Noktayı) Bulma

• $D$ ve $D'$ noktalarını birleştiren doğru parçası, $L$ doğrusunu bir noktada keser. Bu kesişim noktası, aynı zamanda $D$ ve $D'$ noktalarının orta noktasıdır. Bu noktaya $K(x_K, y_K)$ diyelim.

  $K$ noktasını bulmak için $L$ doğrusu ile $D D'$ doğrusunun denklemlerini ortak çözelim:

  1) $2x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = 2x + 1$

  2) $x + 2y + 3 = 0$

  Birinci denklemdeki $y$ ifadesini ikinci denklemde yerine yazalım:

  $x + 2(2x + 1) + 3 = 0$

  $x + 4x + 2 + 3 = 0$

  $5x + 5 = 0$

  $5x = -5 \Rightarrow x_K = -1$.

  $x_K = -1$ değerini $y = 2x + 1$ denkleminde yerine yazalım:

  $y_K = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$.

  Kesişim noktası $K(-1, -1)$'dir.

• Adım 5: Simetrik Nokta $D'(x', y')$'yi Bulma

• $K(-1, -1)$ noktası, $D(1,-2)$ ve $D'(x', y')$ noktalarının orta noktasıdır. Orta nokta formülünü kullanarak $x'$ ve $y'$ değerlerini bulalım:

  Orta noktanın $x$ koordinatı: $x_K = \frac{x_D + x'}{2}$

  $-1 = \frac{1 + x'}{2}$

  $-2 = 1 + x' \Rightarrow x' = -3$.

  Orta noktanın $y$ koordinatı: $y_K = \frac{y_D + y'}{2}$

  $-1 = \frac{-2 + y'}{2}$

  $-2 = -2 + y' \Rightarrow y' = 0$.

  Böylece, $D(1,-2)$ noktasının $2x - y + 1 = 0$ doğrusuna göre simetriği olan nokta $D'(-3, 0)$ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.