Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, polinomlarda kalan bulma konusunu, özellikle de Kalan Teoremi'ni kullanarak nasıl kolayca çözebileceğimizi öğreneceğiz. Sorumuz, $P(x) = (x^2-1)^5 + (x+2)^{10}$ polinomunun $(x-1)$ ile bölümünden kalanı bulmak.
- Adım 1: Kalan Teoremi'ni Hatırlayalım
- Kalan Teoremi bize der ki: Bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ ile bölümünden kalan, $P(a)$ değerine eşittir. Bu, polinom bölmesi yapmadan kalanı bulmanın çok pratik bir yoludur.
- Adım 2: Bölen İfadeyi Sıfıra Eşitleyelim
- Bölenimiz $(x-1)$ ifadesidir. Kalan Teoremi'ni uygulayabilmek için bu ifadeyi sıfıra eşitlemeliyiz:
$x-1 = 0$
Buradan $x = 1$ değerini buluruz. Bu $x$ değeri, $P(a)$ formülündeki $a$ değerimizdir. Yani, $a=1$.
- Adım 3: $x$ Değerini Polinomda Yerine Yazalım
- Şimdi, $P(x)$ polinomunda $x$ yerine bulduğumuz $1$ değerini yazarak $P(1)$'i hesaplayacağız. Bu değer bize kalanı verecek:
$P(x) = (x^2-1)^5 + (x+2)^{10}$
$P(1) = ((1)^2-1)^5 + (1+2)^{10}$
- Adım 4: İfadeyi Basitleştirelim ve Kalanı Bulalım
- Şimdi adım adım hesaplamayı yapalım:
Önce parantez içlerini hesaplayalım:
$(1)^2-1 = 1-1 = 0$
$1+2 = 3$
Bu değerleri yerine yazarsak:
$P(1) = (0)^5 + (3)^{10}$
$0^5$ ifadesi $0$ demektir.
$P(1) = 0 + 3^{10}$
$P(1) = 3^{10}$
- Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz kalan $3^{10}$'dur. Seçeneklere baktığımızda, bu değerin B seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Gördüğünüz gibi, Kalan Teoremi sayesinde uzun bölme işlemleri yapmadan sonuca kolayca ulaşabildik. Unutmayın, matematiksel kuralları doğru anlamak, problemleri çözmenin anahtarıdır!
Cevap B seçeneğidir.
