10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonların Nitel Özellikleri Test 1

f: R → R fonksiyonu her x ∈ R için f(x) = f(-x) eşitliğini sağlıyor ve f(2) = 5'tir. Buna göre f fonksiyonu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Tek fonksiyondur
B) f(-2) = -5'tir
C) Çift fonksiyondur
D) Birebir değildir

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir özelliğini kullanarak hangi seçeneğin kesinlikle doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgiyi Anlayalım:

  Bize $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ şeklinde tanımlanmış bir $f$ fonksiyonu verilmiş. Bu fonksiyonun en önemli özelliği, her $x \in \mathbb{R}$ için $f(x) = f(-x)$ eşitliğini sağlamasıdır. Ayrıca $f(2) = 5$ olduğu da belirtilmiştir.

• 2. Fonksiyon Türlerini Hatırlayalım:

  Fonksiyonlar, belirli özelliklerine göre sınıflandırılır. Bu özelliklerden ikisi "tek fonksiyon" ve "çift fonksiyon" olma durumudur:

  • Çift Fonksiyon: Bir $f$ fonksiyonu, tanım kümesindeki her $x$ için $f(x) = f(-x)$ eşitliğini sağlıyorsa, bu fonksiyona çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonların grafikleri $y$-eksenine göre simetriktir.
  • Tek Fonksiyon: Bir $f$ fonksiyonu, tanım kümesindeki her $x$ için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlıyorsa, bu fonksiyona tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
• 3. Verilen Eşitliği Çift Fonksiyon Tanımıyla Karşılaştıralım:

  Soruda bize verilen temel bilgi, fonksiyonun her $x \in \mathbb{R}$ için $f(x) = f(-x)$ eşitliğini sağlamasıdır. Dikkat ederseniz, bu eşitlik doğrudan çift fonksiyon tanımının kendisidir. Yani, soruda verilen koşul, $f$ fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu bize açıkça söylemektedir.

• 4. Seçenekleri Değerlendirelim:

  Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

  • A) Tek fonksiyondur: Tek fonksiyon tanımı $f(-x) = -f(x)$ şeklindedir. Verilen $f(x) = f(-x)$ eşitliği ile bu tanım genellikle çelişir. Eğer bir fonksiyon hem tek hem de çift ise, bu fonksiyon sadece $f(x) = 0$ fonksiyonudur. Ancak $f(2) = 5$ olduğu için $f(x)$ her zaman $0$ değildir. Dolayısıyla $f$ tek fonksiyon değildir. Bu seçenek yanlıştır.
  • B) $f(-2) = -5$'tir: Verilen $f(x) = f(-x)$ eşitliğini kullanarak $x=2$ için $f(2) = f(-2)$ yazabiliriz. $f(2) = 5$ olduğu için, $f(-2)$ de $5$ olmalıdır. Yani $f(-2) = 5$'tir. Bu seçenek yanlıştır.
  • C) Çift fonksiyondur: Yukarıda da belirttiğimiz gibi, $f(x) = f(-x)$ eşitliği doğrudan çift fonksiyonun tanımıdır. Bu bilgi bize soruda verildiği için, $f$ fonksiyonunun çift fonksiyon olduğu kesinlikle doğrudur.
  • D) Birebir değildir: Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı $x$ değerleri için farklı $f(x)$ değerleri alması gerekir (yani $x_1 \neq x_2$ iken $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır). Ancak bizim fonksiyonumuzda $f(x) = f(-x)$ eşitliği vardır. Eğer $x \neq 0$ ise, $x$ ve $-x$ farklı değerlerdir (örneğin $2 \neq -2$). Fakat $f(x)$ ve $f(-x)$ değerleri birbirine eşittir (örneğin $f(2) = f(-2) = 5$). Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir. Bu ifade de doğrudur.
• 5. Kesinlikle Doğru Olanı Seçelim:

  Hem C hem de D seçenekleri doğru gibi görünmektedir. Ancak soruda verilen $f(x) = f(-x)$ eşitliği, doğrudan çift fonksiyonun tanımıdır. Bir fonksiyonun bu tanımı sağlaması, onun "çift fonksiyon" olduğunu ifade eder. "Çift fonksiyondur" ifadesi, verilen koşulun matematiksel adıdır ve bu koşulun en temel, en doğrudan sonucudur. "Birebir değildir" ifadesi ise, çift fonksiyon olmanın bir sonucudur (tanım kümesi $\mathbb{R}$ gibi simetrik bir küme olduğunda). Bu tür sorularda, verilen bilginin doğrudan tanımı veya en temel çıkarımı genellikle doğru cevap olarak kabul edilir.

Bu nedenle, $f(x) = f(-x)$ eşitliği, $f$ fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu kesinlikle belirtir.

Cevap C seçeneğidir.