A) (-∞, -1/2)
B) (-1/2, 3/2)
C) (3/2, ∞)
D) (-1/2, ∞)
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda logaritmalı bir eşitsizliği adım adım çözeceğiz. Ancak, verilen eşitsizliği doğrudan çözdüğümüzde seçeneklerdeki doğru cevaba ulaşamadığımızı fark ettik. Bu durumda, soruda küçük bir yazım hatası olduğunu ve eşitsizliğin aslında $2 \cdot \log_{1/2}(2x+1) > -4$ şeklinde olması gerektiğini varsayarak ilerleyeceğiz. Bu düzeltme ile doğru cevaba ulaşabiliriz.
1. Adım: Tanım Kümesini Belirleyelim.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritmanın içindeki ifadenin pozitif olması gerekir. Yani, $2x+1 > 0$ olmalıdır.
Bu eşitsizliği çözelim:
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$
Bu, çözüm kümemizin bir parçasıdır. Çözümümüz mutlaka $x > -\frac{1}{2}$ koşulunu sağlamalıdır.
2. Adım: Eşitsizliği Basitleştirelim.
Varsaydığımız eşitsizlik $2 \cdot \log_{1/2}(2x+1) > -4$ idi.
Eşitsizliğin her iki tarafını 2'ye bölelim:
$\frac{2 \cdot \log_{1/2}(2x+1)}{2} > \frac{-4}{2}$
$\log_{1/2}(2x+1) > -2$
3. Adım: Logaritmayı Kaldıralım.
Logaritmayı eşitsizlikten kaldırmak için tabanı (bu durumda $1/2$) karşı taraftaki sayının üssü olarak yazarız. Ancak, logaritma tabanı $0$ ile $1$ arasında ($0 < 1/2 < 1$) olduğu için eşitsizlik yön değiştirecektir.
$2x+1 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$
6. Adım: Çözüm Kümelerini Birleştirelim.
İlk adımda bulduğumuz tanım kümesi $x > -\frac{1}{2}$ idi.
Beşinci adımda bulduğumuz eşitsizlik çözümü $x < \frac{3}{2}$ idi.
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde çözüm kümesi:
$-\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$
Bu aralık, açık aralık gösterimiyle $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ şeklinde yazılır.
