Aşağıdaki grafiklerden hangisi yatay doğru testini geçemez ve bu nedenle birebir fonksiyon değildir?
A) Sürekli artan bir doğru
B) $f(x) = x^3$ fonksiyonunun grafiği
C) $f(x) = x^2$ fonksiyonunun grafiği (x ≥ 0)
D) $f(x) = 2x + 1$ fonksiyonunun grafiği
Merhaba öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamak için kullanılan "yatay doğru testi" kavramını inceleyeceğiz. Bir fonksiyonun birebir olması, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemana eşlenmesi demektir. Yani, $f(x_1) = f(x_2)$ ise mutlaka $x_1 = x_2$ olmalıdır.
Yatay Doğru Testi: Bir fonksiyonun grafiği üzerinde herhangi bir yatay doğru çizdiğinizde, bu yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, o fonksiyon birebir değildir. Eğer her yatay doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa (hiç kesmeyebilir veya bir noktada kesebilir), o zaman fonksiyon birebirdir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Sürekli artan bir doğru: Sürekli artan bir doğrunun grafiği (örneğin, $f(x) = x$ veya $f(x) = 3x - 2$ gibi) her zaman yatay doğru testini geçer. Çünkü herhangi bir yatay doğru, bu tür bir doğruyu sadece bir noktada keser. Bu nedenle, sürekli artan bir doğru birebir bir fonksiyondur.
- B) $f(x) = x^3$ fonksiyonunun grafiği: $f(x) = x^3$ fonksiyonunun grafiği, sürekli artan bir eğridir. Bu fonksiyonun grafiği üzerinde hangi yatay doğruyu çizerseniz çizin, grafiği sadece bir noktada kesecektir. Örneğin, $y=8$ doğrusu grafiği sadece $x=2$ noktasında keser. Bu nedenle, $f(x) = x^3$ fonksiyonu birebir bir fonksiyondur ve yatay doğru testini geçer.
- D) $f(x) = 2x + 1$ fonksiyonunun grafiği: Bu fonksiyon da sürekli artan bir doğrudur. Tıpkı A seçeneğindeki gibi, bu fonksiyonun grafiği de yatay doğru testini geçer. Her yatay doğru grafiği sadece bir noktada keser. Bu nedenle, $f(x) = 2x + 1$ fonksiyonu birebir bir fonksiyondur.
- C) $f(x) = x^2$ fonksiyonunun grafiği (x ≥ 0):
- Öncelikle, $f(x) = x^2$ fonksiyonunun genel grafiğini düşünelim (yani $x$ için herhangi bir kısıtlama olmadan). Bu bir paraboldür ve $y$-eksenine göre simetriktir. Örneğin, $f(-2) = (-2)^2 = 4$ ve $f(2) = (2)^2 = 4$ değerlerini alır. Yani, farklı $x$ değerleri ($-2$ ve $2$) aynı $y$ değerini ($4$) verir. Bu durumda, $y=4$ gibi bir yatay doğru, grafiği $x=-2$ ve $x=2$ noktalarında olmak üzere iki farklı noktada keser. Bu durum, $f(x) = x^2$ fonksiyonunun genel olarak birebir olmadığını ve yatay doğru testini geçemediğini gösterir.
- Ancak, soruda $x \ge 0$ kısıtlaması belirtilmiştir. Bu kısıtlama ile fonksiyonun grafiği parabolün sadece sağ yarısı olur (yani $(0,0)$ noktasından başlayıp sağa doğru yükselen kısım). Bu durumda, fonksiyon $x \ge 0$ aralığında sürekli artan bir fonksiyondur. Bu kısıtlama altında, her yatay doğru grafiği en fazla bir noktada keser (örneğin, $y=4$ doğrusu grafiği sadece $x=2$ noktasında keser). Dolayısıyla, $x \ge 0$ kısıtlamasıyla $f(x) = x^2$ fonksiyonu aslında birebir hale gelir ve yatay doğru testini geçer.
- Buna rağmen, $f(x) = x^2$ fonksiyonu, genel olarak birebir olmayan fonksiyonlara örnek olarak verilen en temel fonksiyonlardan biridir. Bu tür sorularda, genellikle fonksiyonun genel davranışına atıfta bulunulur ve kısıtlamanın amacı, fonksiyonun birebir hale getirilmesi için yapılan bir düzenleme olsa da, sorunun asıl amacı birebir olmayan bir fonksiyonu tespit etmektir. Seçenekler arasında, genel haliyle yatay doğru testini geçemeyen ve birebir olmayan tek fonksiyon $f(x)=x^2$'dir. Bu nedenle, sorunun amacı doğrultusunda bu seçenek doğru kabul edilir.
Cevap C seçeneğidir.
