Kümelerde birleşim, kesişim, fark Test 1

7. A ve B kümeleri için s(A) = 2s(B) ve s(A∩B) = 4'tür. A∪B kümesinin eleman sayısı 20 olduğuna göre, B - A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda kümelerle ilgili temel bilgimizi ve formüllerimizi kullanarak adım adım sonuca ulaşacağız. Kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkileri dikkatlice inceleyelim.

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Soruda bize üç önemli bilgi verilmiş:

  • $s(A) = 2s(B)$: A kümesinin eleman sayısı, B kümesinin eleman sayısının 2 katıdır.
  • $s(A \cap B) = 4$: A ve B kümelerinin kesişim kümesinin eleman sayısı 4'tür. Yani her iki kümede de ortak olan 4 eleman vardır.
  • $s(A \cup B) = 20$: A ve B kümelerinin birleşim kümesinin eleman sayısı 20'dir.

  Bizden istenen ise $s(B - A)$ yani B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların sayısıdır.

• 2. Kümelerin Birleşim Formülünü Hatırlayalım:

  İki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için kullandığımız temel bir formül vardır:

  $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$

  Bu formül, A ve B kümelerinin eleman sayılarını toplarken kesişim kümesinin elemanlarını iki kez saydığımız için, bir kez çıkarmamız gerektiğini ifade eder.

• 3. Bilgileri Formülde Yerine Koyalım ve $s(B)$'yi Bulalım:

  Şimdi verilen değerleri bu formülde yerine yazalım:

  $20 = s(A) + s(B) - 4$

  Ayrıca $s(A) = 2s(B)$ olduğunu biliyoruz. Bu ifadeyi formülde $s(A)$ yerine yazalım:

  $20 = 2s(B) + s(B) - 4$

  Denklemi düzenleyelim:

  $20 = 3s(B) - 4$

  $-4$'ü eşitliğin sol tarafına atalım (işareti değişir):

  $20 + 4 = 3s(B)$

  $24 = 3s(B)$

  Her iki tarafı 3'e bölelim:

  $s(B) = \frac{24}{3}$

  $s(B) = 8$

  Böylece B kümesinin eleman sayısını 8 olarak bulduk.

• 4. $s(B - A)$ Formülünü Kullanarak Sonuca Ulaşalım:

  Bizden istenen $s(B - A)$ idi. Bir kümenin diğerinden farkının eleman sayısını bulmak için şu formülü kullanırız:

  $s(B - A) = s(B) - s(A \cap B)$

  Bu formül, B kümesinin elemanlarından, A ile ortak olanları (yani kesişimdeki elemanları) çıkardığımızda, sadece B'ye ait olan elemanları bulacağımızı ifade eder.

  Şimdi bulduğumuz $s(B) = 8$ değerini ve soruda verilen $s(A \cap B) = 4$ değerini bu formülde yerine yazalım:

  $s(B - A) = 8 - 4$

  $s(B - A) = 4$

  Buna göre, B kümesinde olup A kümesinde olmayan eleman sayısı 4'tür.

Cevap B seçeneğidir.