Kümelerde birleşim, kesişim, fark Test 1

9. A = {x | x² < 25, x ∈ Z} ve B = {x | |x| ≤ 3, x ∈ Z} kümeleri veriliyor. Buna göre A - B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki farklı kümenin elemanlarını belirleyip, ardından bu kümeler arasındaki fark işlemini uygulayarak eleman sayısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve her bir kavramı dikkatlice inceleyelim.

• 1. Adım: A kümesinin elemanlarını belirleyelim.

  A kümesi, $A = \{x | x^2 < 25, x \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifade, "karesi 25'ten küçük olan tam sayılar" anlamına gelir. Bir sayının karesi 25'ten küçükse, o sayı $-5$ ile $5$ arasında olmalıdır. Yani, $-5 < x < 5$ koşulunu sağlayan tam sayılar şunlardır:

  $x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

  Buna göre, $A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ kümesini elde ederiz.

• 2. Adım: B kümesinin elemanlarını belirleyelim.

  B kümesi, $B = \{x | |x| \leq 3, x \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifade, "mutlak değeri 3'e eşit veya 3'ten küçük olan tam sayılar" anlamına gelir. Bir sayının mutlak değeri 3'e eşit veya küçükse, o sayı $-3$ ile $3$ arasında (dahil) olmalıdır. Yani, $-3 \leq x \leq 3$ koşulunu sağlayan tam sayılar şunlardır:

  $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$

  Buna göre, $B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ kümesini elde ederiz.

• 3. Adım: A - B kümesini bulalım.

  $A - B$ kümesi, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. Yani, A kümesinin elemanlarından B kümesinin elemanlarını çıkaracağız.

  $A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

  $B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$

  A kümesindeki elemanları tek tek inceleyelim:

  • $-4$: B kümesinde yok. O zaman $A - B$ kümesinde var.
  • $-3$: B kümesinde var. O zaman $A - B$ kümesinde yok.
  • $-2$: B kümesinde var. O zaman $A - B$ kümesinde yok.
  • $-1$: B kümesinde var. O zaman $A - B$ kümesinde yok.
  • $0$: B kümesinde var. O zaman $A - B$ kümesinde yok.
  • $1$: B kümesinde var. O zaman $A - B$ kümesinde yok.
  • $2$: B kümesinde var. O zaman $A - B$ kümesinde yok.
  • $3$: B kümesinde var. O zaman $A - B$ kümesinde yok.
  • $4$: B kümesinde yok. O zaman $A - B$ kümesinde var.

  Bu durumda, $A - B = \{-4, 4\}$ kümesini elde ederiz.

• 4. Adım: A - B kümesinin eleman sayısını bulalım.

  $A - B$ kümesi $\{-4, 4\}$ elemanlarından oluşmaktadır. Bu kümenin eleman sayısı, yani $s(A - B)$ veya $|A - B|$, bu kümedeki elemanların adedidir.

  $A - B$ kümesinde 2 eleman bulunmaktadır.

Bu nedenle, $A - B$ kümesinin eleman sayısı 2'dir.

Cevap A seçeneğidir.