Bir dikdörtgenin çevresi verildiğinde, alanının maksimum değerini bulmak için adım adım ilerleyelim. Bu tür problemler, genellikle bir optimizasyon problemidir ve matematiksel yöntemlerle çözülür.
- 1. Dikdörtgenin Kenarlarını Tanımlayalım:
- Bir dikdörtgenin iki farklı kenarı vardır. Bu kenarlara $a$ ve $b$ diyelim.
- 2. Çevre Bilgisini Kullanalım:
- Dikdörtgenin çevresi, tüm kenarlarının toplamıdır. Formülü $P = 2(a+b)$ şeklindedir.
- Soruda çevrenin 40 cm olduğu verilmiş. O zaman:
- $40 = 2(a+b)$
- Her iki tarafı 2'ye bölersek:
- $a+b = 20$ cm.
- Bu, dikdörtgenin iki kenarının toplamının 20 cm olduğu anlamına gelir.
- 3. Alan Formülünü Yazalım:
- Dikdörtgenin alanı, kenarlarının çarpımıdır. Formülü $A = a \cdot b$ şeklindedir.
- 4. Alanı Tek Değişken Cinsinden İfade Edelim:
- Şu an alan formülünde iki değişken ($a$ ve $b$) var. Ancak biz $a+b=20$ olduğunu biliyoruz. Buradan $b$'yi $a$ cinsinden yazabiliriz: $b = 20-a$.
- Şimdi bu ifadeyi alan formülünde yerine koyalım:
- $A = a \cdot (20-a)$
- $A = 20a - a^2$
- Bu ifadeyi daha düzenli yazarsak: $A(a) = -a^2 + 20a$.
- 5. Alanın Maksimum Değerini Bulalım:
- Elde ettiğimiz $A(a) = -a^2 + 20a$ ifadesi, bir parabol denklemidir. Bu parabolün baş katsayısı ($-a^2$'nin katsayısı) negatif olduğu için parabol aşağı doğru açılır ve bir tepe noktasına sahiptir. Bu tepe noktası, alanın alabileceği maksimum değeri verir.
- Bir $Ax^2 + Bx + C$ şeklindeki parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı $x = -B/(2A)$ formülüyle bulunur. Bizim denklemimizde $A = -1$ ve $B = 20$.
- O zaman $a$ değeri:
- $a = -20 / (2 \cdot (-1))$
- $a = -20 / (-2)$
- $a = 10$ cm.
- Demek ki, alanın maksimum olması için dikdörtgenin bir kenarı 10 cm olmalıdır.
- 6. Diğer Kenarı ve Maksimum Alanı Bulalım:
- Eğer $a = 10$ cm ise, $b = 20-a$ formülünden:
- $b = 20-10 = 10$ cm.
- Gördüğümüz gibi, alanın maksimum olduğu durumda dikdörtgenin kenarları birbirine eşit çıktı ($a=b=10$ cm). Bu da bize, belirli bir çevreye sahip dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanın bir kare olduğunu gösterir!
- Şimdi maksimum alanı hesaplayalım:
- $A_{maksimum} = a \cdot b = 10 \cdot 10 = 100$ cm².
Bu durumda, dikdörtgenin alanının maksimum değeri 100 cm²'dir.
Cevap C seçeneğidir.
