Bir kenarı duvar üzerine gelecek şekilde 80 metre uzunluğunda tel ile dikdörtgen şeklinde bir bahçe çevriliyor. Buna göre bahçenin maksimum alanı kaç m²'dir?
A) 600Bu problemde, bir kenarı duvar olan dikdörtgen şeklinde bir bahçenin maksimum alanını bulmamız isteniyor. Toplam 80 metre tel ile çevrilecek olan bu bahçenin maksimum alanını adım adım bulalım:
Dikdörtgen bahçemizin bir kenarı duvar olduğu için, tel sadece diğer üç kenarı çevirmek için kullanılacaktır. Bahçenin duvara dik olan kenarlarına $x$ diyelim, duvara paralel olan kenarına ise $y$ diyelim.
Yani, bahçenin tel ile çevrili kenarları $x$, $x$ ve $y$ olacaktır.
Toplam tel uzunluğu 80 metre olduğuna göre, kullandığımız telin uzunluğu $x + y + x$ yani $2x + y$ olacaktır. Bu durumda denklemimiz:
$2x + y = 80$
Bu denklemden $y$ kenarını $x$ cinsinden ifade edebiliriz: $y = 80 - 2x$
Dikdörtgenin alanı, kenarlarının çarpımıdır. Yani Alan $(A) = x \cdot y$
Şimdi $y$ yerine $80 - 2x$ ifadesini yazarak alanı sadece $x$ değişkenine bağlı bir fonksiyon olarak ifade edelim:
$A(x) = x \cdot (80 - 2x)$
$A(x) = 80x - 2x^2$
Elde ettiğimiz alan denklemi $A(x) = -2x^2 + 80x$ bir paraboldür. Bu parabolün $x^2$'nin katsayısı negatif olduğu için (yani $-2$), parabol aşağıya doğru açılır ve bir maksimum noktası vardır. Bu maksimum nokta, parabolün tepe noktasıdır.
Bir $ax^2 + bx + c$ şeklindeki parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı $x = -b / (2a)$ formülü ile bulunur.
Bizim denklemimizde $a = -2$ ve $b = 80$.
O zaman $x$ değeri:
$x = -80 / (2 \cdot (-2))$
$x = -80 / -4$
$x = 20$ metre
$x = 20$ metre olduğuna göre, $y$ kenarını $y = 80 - 2x$ denkleminden bulabiliriz:
$y = 80 - 2 \cdot (20)$
$y = 80 - 40$
$y = 40$ metre
Şimdi $x$ ve $y$ değerlerini kullanarak maksimum alanı hesaplayabiliriz:
$A = x \cdot y$
$A = 20 \cdot 40$
$A = 800$ m²
Buna göre, bahçenin maksimum alanı 800 m²'dir.
Cevap C seçeneğidir.
