Maksimum minimum problemleri Test 1

\( f(x) = x^2 - 4x + 7 \) fonksiyonunun [-1, 3] aralığındaki minimum değeri kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki minimum değerini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür sorular, fonksiyonların davranışını anlamak için çok önemlidir.

• 1. Adım: Fonksiyonun Türevini Alın ve Kritik Noktaları Bulun.

  Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki minimum veya maksimum değerini bulmak için ilk olarak fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktalarını buluruz. Kritik noktalar, fonksiyonun eğiminin sıfır olduğu (yani tepe veya çukur yaptığı) noktalardır.

  Verilen fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 4x + 7$.

  Türevini alalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 7) = 2x - 4$

  Şimdi türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulalım:

  $2x - 4 = 0$

  $2x = 4$

  $x = 2$

  Bulduğumuz kritik nokta $x=2$. Bu noktanın verilen $[-1, 3]$ aralığında olup olmadığını kontrol edelim. Evet, $2$ sayısı $[-1, 3]$ aralığının içindedir.

• 2. Adım: Kritik Noktadaki Fonksiyon Değerini Hesaplayın.

  Bulduğumuz kritik nokta $x=2$ için fonksiyonun değerini hesaplayalım:

  $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 7$

  $f(2) = 4 - 8 + 7$

  $f(2) = 3$

• 3. Adım: Aralığın Uç Noktalarındaki Fonksiyon Değerlerini Hesaplayın.

  Minimum değeri bulmak için sadece kritik noktaya bakmak yeterli değildir. Fonksiyonun aralığın uç noktalarındaki değerlerini de kontrol etmeliyiz.

  Aralığımız $[-1, 3]$ olduğu için $x=-1$ ve $x=3$ noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulalım:

  Sol uç nokta ($x=-1$):

  $f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 7$

  $f(-1) = 1 + 4 + 7$

  $f(-1) = 12$

  Sağ uç nokta ($x=3$):

  $f(3) = (3)^2 - 4(3) + 7$

  $f(3) = 9 - 12 + 7$

  $f(3) = 4$

• 4. Adım: Tüm Değerleri Karşılaştırın ve Minimumu Belirleyin.

  Şimdi bulduğumuz tüm fonksiyon değerlerini bir araya getirelim:

  • Kritik noktada: $f(2) = 3$
  • Sol uç noktada: $f(-1) = 12$
  • Sağ uç noktada: $f(3) = 4$

  Bu değerler arasından en küçüğü, fonksiyonun verilen aralıktaki minimum değeridir.

  Gördüğümüz gibi, $3$, $12$ ve $4$ değerleri arasında en küçüğü $3$'tür.

  Bu fonksiyon bir parabol olduğu için (yani $x^2$ teriminin katsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı doğru bakar), tepe noktası bir minimum noktasıdır. Bulduğumuz kritik nokta $x=2$ aslında parabolün tepe noktasının $x$ koordinatıdır ve bu nokta verilen aralık içinde olduğu için minimum değer tepe noktasında gerçekleşir.

Bu adımları takip ederek, fonksiyonun $[-1, 3]$ aralığındaki minimum değerinin $3$ olduğunu bulduk.

Cevap B seçeneğidir.